Question

Obter o valor de x, na igualdade x = $\sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+...} } } }$

Answer 1

x = $\sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+....} } } }$ como a expressão de raiz quadrada se estende infinitamente vamos colocar a expressão entre parênteses e igualá-la a x; fica:

x = $\sqrt{2+( \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2....)} } } }$ =

x = $\sqrt{2+x}$

Agora elevando os dois lados quadrado temos:

$x^{2}$ = $( \sqrt{2+x}) ^{2}$ =

$x^{2}$ = 2 + x ⇒

$x^{2}-x-2=0$ ⇒

Esta é uma equação de 2° grau que pode ser resolvida por Bhaskara;

x = $\frac{-b+/- \sqrt{ b^{2}-4.a.c} }{2a}$ ⇒

x =  $\frac{-(-1)+/- \sqrt{ (-1)^{2} -4.1.(-1)} }{2.1}$ ⇒

x = $\frac{1+/- \sqrt{9}}{2}$ ⇒

x₁ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{-2}{2}$ = - 1

Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, então o valor de x na expressão é 2


Espero ter ajudado!