Question

Obter a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300.

Answer 1

Resposta:

Há duas possibilidades:

P.G. I = -3, 15, -75, 375.

P.G. II = 2, 10, 50, 250.

Explicação passo a passo:

P.G. de quatro termos:

$a_{1}\\a_{2} = a_{1}*r\\a_{3}=a_{2}*r=a_{1}*r^{2}\\a_{4}=a_{1}*r^{3}$

Sabemos que:

$a_{1}+a_{2}=12\\a_{1}+a_{1}*r = 12\\a_{1}(1+r)=12\\a_{1}=\frac{12}{1+r}$

Onde $r$ é definido para todo número real diferente de -1.

Também temos que:

$a_{3}+a_{4}=300\\a_{1}*r^{2}+a_{1}*r^{3} = 300\\a_{1}(r^{2}+r^{3})=300\\\frac{12}{1+r}(r^{2}+r^{3})=300\\ 12(r^{2}+r^{3})=300(1+r)\\r^{2}+r^{3}=25(1+r)\\r^{3}+r^{2}-25r-25=0$

Esta é uma equação de 3º grau que admite três raízes reais: -1 (não convém), -5 e 5. Logo, teremos duas possibilidades:

Para $r = -5$:

$a_{1}=\frac{12}{1+(-5)} = -3$

Logo, a P.G. será:

$-3, 15, -75, 375.$

Para r = 5:

$a_{1}=\frac{12}{1+5} = 2$

Logo, a P.G. será:

$2, 10, 50, 250.$

Answer 2

$> resolucao \\ \\ \geqslant progressao \: geometrica \\ \\ a1 + a2 = 12 \\ a1 + a1q = 12 \\ a1(1 + q) = 12 \\ (1 + q) = \frac{12}{a1} \\ \\ \\ a3 + a4 = 300 \\ a1q {}^{2} + a1q {}^{3} = 300 \\ a1q {}^{2} (1 + q) = 300 \\ a1q {}^{2} ( \frac{12}{a1} ) = 300 \\ q {}^{2} = \frac{300}{12} \\ q {}^{2} = 25 \\ q = \sqrt{25} \\ q = + - 5 \\ \\ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \\ \\ > para \: q = 5 \\ \\ a1(1 + q) = 12 \\ a1(1 + 5) = 12 \\ 6a1 = 12 \\ a1 = \frac{12}{6} \\ a1 = 2 \\ \\ pg \: > \: ( \: 2 \: . 10 \: . \: 50 \: . \: 250 \: ...) \\ \\ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \\ \\ \\ > para \: q = - 5 \\ \\ a1(1 + q) = 12 \\ a1(1 - 5) = 12 \\ - 4a1 = 12 \\ a1 = - \frac{12}{4} \\ a1 = - 3 \\ \\ \\ pg \: > \: ( \: - 3 \: . \: 15 \: . \: - 75 \: . \: 375 \: ...) \\ \\ \\ \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant$