Question

Obter a equação normal da circunferência que passa pelos pontos A(0, 0), B(6, 0) e C(3, 1).




c

Answer 1

Seja a coordenada do centro da circunferência o ponto $O(x_O,y_O)$. Para determinar a equação da circunferência precisamos da informação das coordenadas do centro (tanto $x_O$ como $y_O$) e do raio $r$, usando as informações dadas na fórmula da equação da circunferência $(y-y_O)^2+(x-x_O)^2=r^2$, temos:

Para o ponto $A$
$(0-y_O)^2+(0-x_O)^2=r^2$
$y_O^2+x_O^2=r^2$

Para o ponto $B$
$(0-y_O)^2+(6-x_O)^2=r^2$
$y_O^2+36-12x_O+x_O^2=r^2$

Para o  ponto $C$
$(1-y_O)^2+(3-x_O)^2=r^2$
$1-2y_O+y_O^2+9-6x_O+x_C^2=r^2$

Igualando a primeira com a segunda equação obtida:
$y_O^2+x_O^2=y_O^2+36-12x_O+x_O^2$
$12x_O=36$
$x_O=\dfrac{36}{12}=3$

Igualando a primeira com a terceira equação e substituindo o valor encontrado para $x_O=3$, temos
$y_O^2+x_O^2=1-2y_O+y_O^2+9-6x_O+x_C^2$
$1-2y_O+9-6\cdot(3)=0$
$-2y_O=8$
$y_O=\dfrac{8}{-2}=-4$

Agora, para saber o valor do raio $r$ precisamos determinar a distância entre o centro $O(3,-4)$ e o ponto $A$ (poderia ser qualquer um dos pontos pertencentes a circunferência, B ou C).
$d_{\overline{OA}=\sqrt{(3-0)^2+(-4-0)^2}$
$d_{\overline{OA}=\sqrt{9+16}$
$d_{\overline{OA}=\sqrt{25}$
$d_{\overline{OA}=5$

Portanto a equação da circunferência será
$(y-(-4))^2+(x-3)^2=5^2$
$(y+4)^2+(x-3)^2=25$ (equação reduzida)
$y^2+8y+16+x^2-6x+9=25$
$y^2+x^2+8y-6x=0$ (equação normal)