Question

Obter a equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P, em cada um dos casos a seguir: a) E : x2 + y2 + z2 = 9 e P = (2,1,−2);

Answer 1

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações do plano tangente à superfície esférica é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: -2x - y + 2z + 9 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases}e: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\\ P = (2, 1, -2)\end{cases}$

A partir da equação da superfície esférica podemos recuperar tanto o centro quanto o raio, ou seja:

                $\Large\begin{cases}C = (0, 0, 0)\\ r = \sqrt{9} = 3\:u\cdot c\end{cases}$  

Sabendo que o plano será tangente à superfície esférica se, e somente se, o vetor normal "n" do plano for ortogonal à qualquer vetor "v" coplanar ao referido plano, isto é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{n}\perp\vec{v} \end{gathered}$

Dessa forma, o produto escalar entre o vetor "n" e o vetor "v" será igual a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{n}\cdot\vec{v} = 0 \end{gathered}$            

Sabendo que para montar estes vetores precisamos de três pontos. Os dois primeiros são "P" e "C" - já fornecidos - e o terceiro é um ponto genérico "G" pertencente ao referido plano cujas coordenadas são:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = (x, y, z) \end{gathered}$

Desenvolvendo a equação "I", temos:

                                                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{n}\cdot\vec{v} = 0 \end{gathered}$

                                                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PG} = 0 \end{gathered}$            

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}(C - P)\cdot(G - P) = 0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[(0, 0, 0) - (2, 1, -2)\right]\cdot\left[(x, y, z) - (2, 1, -2)\right] = 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[0 - 2, 0 - 1, 0 + 2\right]\cdot\left[x - 2, y - 1, z + 2\right] = 0 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[-2, -1, 2\right]\cdot\left[x - 2, y - 1, z + 2\right] = 0 \end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}-2\cdot(x - 2) + (-1)\cdot(y - 1) + 2\cdot(z + 2) = 0 \end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}-2x + 4 - y + 1 + 2z + 4 = 0 \end{gathered}$  

                                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}-2x - y + 2z + 9 = 0 \end{gathered}$  

✅ Portanto, uma das possíveis equações do plano tangente à superfície esférica é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: -2x - y + 2z + 9 = 0 \end{gathered}$

Saiba mais:

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