Question

obter a área entre os graficos das funçoes. f(x)=x^3-x^2+3 e g(x)= -x/2+1/2 no intervalo [-1,1}

Answer 1

verificar qual gráfico fica acima e qual fica em baixo:
figura 1

a área entre esses dois gráficos é a integral do superior menos a integral do inferior.
figura 2 - figura 3

então, primeiro devemos separar as integrais:
$\displaystyle A_{_{-1\to1}}=\int\limits^{1}_{-1}f(x)-g(x)\,dx=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx-\int\limits_{-1}^{1}g(x)\,dx\implies \\\\ \int\limits_{-1}^{1}x^3-x^2+3\,dx-\int\limits_{-1}^{1}-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\,dx=A$


Calcular integrais separadas:
integral de f(x):
 $\displaystyle \int\limits^{1}_{-1}x^3-x^2+3\,dx=\left. \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+3x\right|\limits_{-1}^{1}=\\\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}+3\cdot1-\left(\frac{-1^4}{4}-\frac{-1^3}{3}+3\cdot-1\right)=\\\\\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+3-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-3\right)=-\frac{2}{3}+\frac{18}{3}=\frac{16}{3}$

integral de g(x):
$\displaystyle -\int\limits_{-1}^{1}-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\,dx=\int\limits_{1}^{-1}-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\,dx=\int\limits^{-1}_{1}-\frac{x}{2}\,dx+\int\limits^{-1}_{1}\frac{1}{2}\,dx=\\\\-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{-1}x\,dx+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{-1}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\left. \frac{x^2}{2}\right|\limits_{1}^{-1}+\left.\frac{1}{2}\cdot x\right|\limits_{1}^{-1}\implies\\\\\left.-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}\right|\limits_{1}^{-1}=\left(-\frac{-1^2}{4}+\frac{-1}{2}\right)-\left(-\frac{1^2}{4}+\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\\\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{4}{4}=\boxed{-1}$

então, agora substituir os valores encontrados na fórmula de A que definimos lá em cima, esse é o valor da área entre os dois gráficos:
$\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}f(x)-g(x)\,dx=\frac{16}{3}-1=\frac{16}{3}-\frac{3}{3}=\boxed{\frac{13}{3}=4,\bar3 }$
figura 4

espero ter ajudado :)