Question

Obtenha uma parametrização para a curva de equação geral LaTeX: 9x^2 + 5y^2 = 19x2+5y2=1.

Answer 1

Perceba que a equação 9x² + 5y² = 1 é de uma elipse, pois:

$\frac{x^2}{\frac{1}{9}} + \frac{y^2}{\frac{1}{5}}=1$

ou seja, uma elipse centrada na origem com $a=\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $b=\frac{1}{3}$.

Para parametrizar uma elipse da forma $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, b < a fazemos a seguinte substituição:

{x = bcos(t)

{y = asen(t)

Sendo assim, uma parametrização para a curva de equação 9x² + 5y² = 1 é:

{$x=\frac{1}{3}cos(t)$

{$y=\frac{\sqrt{5}}{5}sen(t)$

Verificando se a parametrização está correta:

Da primeira equação obtemos cos(t) = 3x.

Da segunda equação obtemos sen(t) = √5y.

Sabemos que sen²(t) + cos²(t) = 1. Logo,

(√5y)² + (3x)² = 1

5y² + 9x² = 1

9x² + 5y² = 1 → perceba que essa é a equação inicial.