obtenha uma p.a de 5 termos,sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3025
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, Lucas, que é simples a resolução.
Pede-se para obter uma PA de 5 termos, sabendo-se que a sua soma é 25 e que a soma de seus cubos é 3.025.
Veja: se os 5 termos estão em PA, então poderemos chamá-los assim:
i)
1º termo: x-2r
2º termo: x-r
3º termo: x
4º termo: x+r
5º termo: x+2r .
ii) Então vamos somar os termos concebidos como acima determinado e vamos igualar essa soma a 25. Assim, teremos:
x-2r + x-r + x + x+r + x+2r = 25 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x = 25
x = 25/5
x = 5 <--- Este é o valor de "x".
iii) Agora vamos pra soma dos seus cubos e igualar a 3.025. Assim teremos:
(x-2r)³ + (x-r)³ + x³ + (x+r)³ + (x+2r)³ = 3.025 ----- como já vimos que x = 5, então vamos substituir, ficando assim:
(5-2r)³ + (5-r)³ + 5³ + (5+r)³ + (5+2r)³ = 3.025 ---- desenvolvendo, teremos:
125-150r+60r²-8r³ + 125-75r+15r²-r³ + 125 + 125+75r+15r²+r³ + 125+150r+60r²+8r³ = 3.025 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
625 + 150r² = 3.025 ----- passando "625" para o 2º membro, teremos:
150r² = 3.025 - 625
150r² = 2.400
r² = 2.400/150 ---- veja que esta divisão dá igual a "16". Assim :
r² = 16
r = +-√(16) ------- como √(16) = 4, então teremos que:
r = +-4 <--- Esta é a razão.
Isto significa que sendo a razão igual a "-4", teremos uma PA decrescente; e se a razão for igual "4", teremos uma PA crescente, embora os termos da PA sejam os mesmos.
iv) Agora que já sabemos que "x" = 5 e que "r" poderá ser "-4" ou "4", então teremos a seguinte PA (vide como denominamos cada termo).
iv.a) Para x = 5 e r = - 4, teremos:
1º termo: x-2r ---> 5-2*(-4) ---> 5+8 = 13
2º termo: x-r ---> 5-(-4) --------> 5+4 = 9
3º termo: x -------> 5 -----------------> = 5
4º termo: x+r ---> 5+(-4) -------> 5-4 = 1
5º termo: x+2r ---> 5+2*(-4) --->5-8 = -3
iv.b) Para x = 5 e r = 4, teremos:
1º termo: x-2r ---> 5-2*4 ----> 5-8 = - 3
2º termo: x-r ------------------> 5-4 = 1
3º termo: x ---------------------------> = 5
4º termo: x+r -------------------> 5+4 = 9
5º termo: x+2r ---> 5+2*4 ---> 5+8 = 13
v) Assim, como você viu e como afirmamos antes, a PA terá os mesmos termos, mas será decrescente ou crescente, dependendo da razão a ser utilizada: "-4" ou "+4", respectivamente.
Dessa forma, se utilizarmos a razão igual a "-4", teremos a seguinte PA:
(13; 9; 5; 1; -3) <--- Veja que é uma PA decrescente
E se utilizarmos a razão igual a "4", teremos a seguinte PA:
(-3; 1; 5; 9; 13) <---- Veja que é uma PA crescente.
Observação: e note que a soma dos termos da PA será igual a 25 e a soma dos seus cubos será 3.025, em qualquer caso que se tome a PA (quer na forma decrescente ou na forma crescente).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Lucas, que é simples a resolução.
Pede-se para obter uma PA de 5 termos, sabendo-se que a sua soma é 25 e que a soma de seus cubos é 3.025.
Veja: se os 5 termos estão em PA, então poderemos chamá-los assim:
i)
1º termo: x-2r
2º termo: x-r
3º termo: x
4º termo: x+r
5º termo: x+2r .
ii) Então vamos somar os termos concebidos como acima determinado e vamos igualar essa soma a 25. Assim, teremos:
x-2r + x-r + x + x+r + x+2r = 25 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x = 25
x = 25/5
x = 5 <--- Este é o valor de "x".
iii) Agora vamos pra soma dos seus cubos e igualar a 3.025. Assim teremos:
(x-2r)³ + (x-r)³ + x³ + (x+r)³ + (x+2r)³ = 3.025 ----- como já vimos que x = 5, então vamos substituir, ficando assim:
(5-2r)³ + (5-r)³ + 5³ + (5+r)³ + (5+2r)³ = 3.025 ---- desenvolvendo, teremos:
125-150r+60r²-8r³ + 125-75r+15r²-r³ + 125 + 125+75r+15r²+r³ + 125+150r+60r²+8r³ = 3.025 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
625 + 150r² = 3.025 ----- passando "625" para o 2º membro, teremos:
150r² = 3.025 - 625
150r² = 2.400
r² = 2.400/150 ---- veja que esta divisão dá igual a "16". Assim :
r² = 16
r = +-√(16) ------- como √(16) = 4, então teremos que:
r = +-4 <--- Esta é a razão.
Isto significa que sendo a razão igual a "-4", teremos uma PA decrescente; e se a razão for igual "4", teremos uma PA crescente, embora os termos da PA sejam os mesmos.
iv) Agora que já sabemos que "x" = 5 e que "r" poderá ser "-4" ou "4", então teremos a seguinte PA (vide como denominamos cada termo).
iv.a) Para x = 5 e r = - 4, teremos:
1º termo: x-2r ---> 5-2*(-4) ---> 5+8 = 13
2º termo: x-r ---> 5-(-4) --------> 5+4 = 9
3º termo: x -------> 5 -----------------> = 5
4º termo: x+r ---> 5+(-4) -------> 5-4 = 1
5º termo: x+2r ---> 5+2*(-4) --->5-8 = -3
iv.b) Para x = 5 e r = 4, teremos:
1º termo: x-2r ---> 5-2*4 ----> 5-8 = - 3
2º termo: x-r ------------------> 5-4 = 1
3º termo: x ---------------------------> = 5
4º termo: x+r -------------------> 5+4 = 9
5º termo: x+2r ---> 5+2*4 ---> 5+8 = 13
v) Assim, como você viu e como afirmamos antes, a PA terá os mesmos termos, mas será decrescente ou crescente, dependendo da razão a ser utilizada: "-4" ou "+4", respectivamente.
Dessa forma, se utilizarmos a razão igual a "-4", teremos a seguinte PA:
(13; 9; 5; 1; -3) <--- Veja que é uma PA decrescente
E se utilizarmos a razão igual a "4", teremos a seguinte PA:
(-3; 1; 5; 9; 13) <---- Veja que é uma PA crescente.
Observação: e note que a soma dos termos da PA será igual a 25 e a soma dos seus cubos será 3.025, em qualquer caso que se tome a PA (quer na forma decrescente ou na forma crescente).
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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