Question

Obtenha uma fórmula fechada para a seguinte soma:

S(n) = 10 + 200 + 3000 + ... + n · 10^n = $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot 10^k}$

Answer 1

Olá Lukyo.


Obtenha a fórmula fechada para a seguinte soma:

$\mathsf{S(n) = 10 + 200 + 3000 + ... + n\cdot10^n =\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot 10^k}$

Observando o comportamento do somatório.


$\mathsf{S_1=10}\\\mathsf{S_2=10+200=210}\\\mathsf{S_3=10+200+3~000=3~210}\\\mathsf{S_4=10+200+3~000+40~000=43~210}\\...$

S = (10, 210, 3 210, 43 210, ...)

Cada termo vai adicionando um algarismo uma unidade maior que o anterior, cresce de forma decrescente. 

Para encontrar sua fórmula fechada eu irei usar o seguinte raciocínio.

Vou optar por inicialmente achar uma sequência de ordem crescente, ou seja: (10, 120, 1 230, 12 340, ...).

Para isso farei da seguinte forma.

$+\begin{cases}\mathsf{10}\\\mathsf{110}\\\mathsf{1110}\\\mathsf{11110}\\\mathsf{...}\\\mathsf{11111....0}\end{cases}$

Pensei em somas de 111..110, com n quantidades de 1. Dessa forma temos:

$\mathsf{S_1=10}\\\mathsf{S_2=10+110=120}\\\mathsf{S_3=10+110+1110=1~230}\\...$

Para isso antes de mais nada é necessário encontrar uma equação que forneça sempre números seguidos de 1. E isso é bem simples, veja.

Uma potência de 10 tem sempre o índice do expoente seguido de 1 unidade de algarismos. Se nós tirarmos 1 unidade iremos ter uma unidade a menos e passaremos a ter uma sequência de n algarismos iguais a 9.

Obtendo um número com n algarismos 9, para obter um número com n algarismos 1 ficou fácil. Basta dividir este número por 9.

Portanto temos:

$\mathsf{\dfrac{10^n-1}{9}}$

Agora basta multiplicar por 10 para obter mais um 0 no final.

Encontrando a fórmula fechada dessa sequência.

$\mathsf{S_n=10\cdot\Big(\dfrac{10^1-1}{9}+\dfrac{10^2-1}{9}+\dfrac{10^3-1}{9}+...+\dfrac{10^n-1}{9}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=10\cdot\Big(\dfrac{10^1+10^2+10^3+...+10^n-(\overbrace{1+1+1+...+1}^n)}{9}\Big)}$

Acima temos uma soma de uma P.G que é obtida pela seguinte fórmula

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(10^n-1)}{9}}$

Aplicando a soma de uma P.G na nossa fórmula.

$\mathsf{S_n=10\cdot\Big(\dfrac{\dfrac{10\cdot(10^n-1)}{9}-n}{9}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{10}{9}\cdot\Big(\dfrac{10^{n+1}-10}{9}-\dfrac{9n}{9}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{10\cdot(10^{n+1}-10-9n)}{81}}$

Então essa seria a fórmula fechada de uma sequência que cresce em ordem crescente.

Para obter a sequência que cresce em ordem decrescente agora ficou fácil. Basta subtrair essa sequência por um número que seja seguido de n algarismos com uma unidade maior que o maior desses algarismos..

Exemplo: 

22 - 12 = 10 
333 - 123 = 210
4 444 - 1234 = 3 210

Mas para isso é necessário que o primeiro algarismos seja o 12, então irei remover o 10 que multiplica toda essa sequência e adicionar (n + 1) para que conte a partir de 12.

Ficando:

$\mathsf{S_n=(n+1)\cdot\Big(\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\Big)-\Big(\dfrac{10\cdot(10^{n+1}-10-9n)}{81}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=\Big(\dfrac{n\cdot10^{n+1}-n+10^{n+1}-1}{9}\Big)-\Big(\dfrac{10^{(n+1)+1}-10-9\cdot(n+1)}{81}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=\Big(\dfrac{9}{9}\cdot\dfrac{(n\cdot10^{n+1}-n+10^{n+1}-1)}{9}\Big)-\Big(\dfrac{10^{n+2}-10-9n-9}{81}\Big)}\\\\\\\mathsf{S_n=\Big(\dfrac{9n\cdot10^{n+1}-9n+9\cdot10^{n+1}-9}{81}\Big)+\dfrac{-10^{n+2}+19+9n}{81}}$

$\mathsf{S_n=\dfrac{9n\cdot10^{n+1}+9\cdot10^{n+1}-10\cdot10^{n+1}+10}{81}}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{9n\cdot10^{n+1}-10^{n+1}+10}{81}}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{10\cdot(9n\cdot10^n-10^n+1)}{81}}$

Provando por P.I.F.

Verificando se é valido para n = 1.

$\mathsf{S_1=\dfrac{10\cdot(9\cdot10^1-10^1+1)}{81}}\\\\\\\mathsf{S_1=\dfrac{10\cdot(\diagup\!\!\!\!81)}{\diagup\!\!\!\!81}}\\\\\\\mathsf{S_1=10~\checkmark}$

Por H.I, vamos assumir que é valido para n = k, e com isso queremos que é válido para n = k + 1.

$\mathsf{10+200+3~000+...+k\cdot10^{k}=\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^k-10^k+1)}{81}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^k-10^k+1)}{81}+(k+1)\cdot10^{k+1}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^k-10^k+1)}{81}+\dfrac{81}{81}\cdot(k\cdot10^{k+1}+10^{k+1})}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^k-10^k+1)}{81}+\dfrac{10\cdot(81k\cdot10^k+81\cdot10^k)}{81}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^k-10^k+1+81k\cdot10^k+81\cdot10^k)}{81}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(90k\cdot10^k+80\cdot10^k+1)}{81}}$

$\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^{k+1}+8\cdot10^{k+1}+1+10^{k+1}-10^{k+1})}{81}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{10\cdot(9k\cdot10^{n+1}+9\cdot10^{k+1}+1-10^{k+1})}{81}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{10\cdot[9\cdot(k+1)\cdot10^{n+1}-10^{k+1}+1]}{81}}}~\checkmark$


Como queríamos mostrar por P.I.F, à formula fechada desse somatório realmente é:


$\boxed{\mathsf{S_n=\dfrac{10\cdot(9n\cdot10^n-10^n+1)}{81}}}$


Para todo n ≥ 1.


Dúvidas? comente.