Question

Obtenha uma forma fechada para o seguinte somatório, utilizando a propriedade telescópica:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)\cdot (k-1)!}$

Sugestão: Multiplique o numerador e o denominador do somando por $k\cdot k!,$ e decomponha em frações.

Answer 1

Manipulando o somando:

$\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!\cdot k\cdot(k-1)!}\\\\\\\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)!\cdot k!}$

Sendo $a_{k}$ e $b_{k}=k!$ duas sequências, temos que

$\Delta(a_{k})=a_{k+1}-a_{k}\\\\\Delta(b_{k})=(k+1)!-k!=(k+1)\cdot k!-k!=k!\cdot(k+1-1)=k\cdot k!$

Então:

$\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{b_{k}\Delta(a_{k})-a_{k}\Delta(b_{k})}{b_{k+1}\cdot b_{k}}\\\\\\\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k!\cdot\Delta(a_{k})-a_{k}\cdot k\cdot k!}{(k+1)!\cdot k!}\\\\\\\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k!\cdot[\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}]}{(k+1)!\cdot k!}$

Queremos achar uma sequência $a_{k}$ de tal forma que tenhamos

$\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!}$

Para isso, devemos ter

$k!\cdot[\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}]=k\cdot k!\\\\\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}=k$

Note que uma sequência constante satisfaz essa igualdade:

$\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\(a_{k+1}-a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\(a_{k}-a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\-k\cdot a_{k}=k\\\\\boxed{\boxed{a_{k}=-1}}$

Logo, definindo

$c_{k}=\dfrac{a_{k}}{b_{k}}=-\dfrac{1}{k!}$

temos que

$\Delta(c_{k})=\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!}$

que é a expressão do somando.
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Portanto:

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta(c_{k})$

Como já vimos, $\sum\limits_{k=1}^{k}\Delta(c_{k})=c_{n+1}-c_{1}$, logo

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=c_{n+1}-c_{1}\\\\\\\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=-\dfrac{1}{(n+1)!}-\bigg[-\dfrac{1}{1!}\bigg]\\\\\\\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=1-\dfrac{1}{(n+1)!}}}$