Question

Obtenha uma equação geral do plano π que contém os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1)
e é paralelo a −→u = (2, 1, 0).

Answer 1

Considerando o vetor $\vec{AB}=B-A=(0,-2,-1)$, os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{u}$ são paralelos ao plano, logo o produto vetorial entre eles deve ser ortogonal ao plano. Calculando este produto:

$\vec{AB}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&-2&-1\\2&1&0\end{vmatrix}$

$\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}\cdot(-2)\cdot0+\vec{j}\cdot(-1)\cdot2+\vec{k}\cdot1\cdot0-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{j}\cdot0\cdot0+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)]$

$\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{j}\cdot(-1)\cdot2-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)]$

$\vec{AB}\times\vec{u}=-2\vec{j}+4\vec{k}+\vec{i}$

$\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}=(1,-2,4)$

Considerando agora um ponto qualquer $P(x,y,z)$ do plano, o vetor $\vec{AP}=P-A=(x-1,y-1,z)$ é paralelo ao plano, logo ele é ortogonal a $\vec{AB}\times\vec{u}$, implicando que o produto escalar entre eles é nulo:

$\vec{AP}\cdot(\vec{AB}\times\vec{u})=0$

$(x-1,y-1,z)\cdot(1,-2,4)=0$

$x-1-2(y-1)+4z=0$

$x-2y+4z+1=0$