Question

Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2µ.

Answer 1

Primeiramente, é importante lembrar que as coordenadas polares são definidas por:

x = r.cos(μ)

y = r.sen(μ)

r² = x² + y².

Perceba que em r² = 2.sen(2μ) temos o seno do arco duplo.

O seno do arco duplo é definido por: sen(2μ) = 2.sen(μ).cos(μ).

Sendo assim, temos que:

r² = 2.2sen(μ).cos(μ)

r² = 4.sen(μ).cos(μ).

Perceba que podemos dizer:

$sen(\mu) = \frac{y}{r}$ e $cos(\mu) = \frac{x}{r}$.

Fazendo as substituições:

$x^2+y^2 = 4.\frac{x}{r}.\frac{y}{r}$

$x^2 + y^2 = \frac{4xy}{r^2}$

$x^2+y^2 = \frac{4xy}{x^2+y^2}$

(x² + y²)(x² + y²) = 4xy

Portanto, a equação cartesiana é igual a: (x² + y²)² = 4xy.