Question

Obtenha um ponto de abscissa 1 da reta r : 2x 1 3 = 3y−2 2 = z 4.

Answer 1

A equação vetorial de uma reta é igual a:
r: (x,y,z) = (x0, y0, z0) + t(v1,v2,v3)

onde (x0,y0,z0) é um ponto que passa pela reta e (v1, v2, v3) é o vetor diretor da reta.

A reta no enunciado foi dada na forma cartesiana, ela tem a forma:
$r: \dfrac{x-x0}{v1} = \dfrac{y-y0}{v2} = \dfrac{z-z0}{v3}$

A reta do exercício é:
$r: \dfrac{2x+1}{3} = \dfrac{3y-2}{2} = \dfrac{z+4}{1}$

Colocando na forma da equação cartesiana:
$r: \dfrac{x+1/2}{3/2} = \dfrac{y-2/3}{2/3} = \dfrac{z+4}{1}$

Da equação vetorial da reta, temos que t vale exatamente cada uma destas igualdades na equação cartesiana. Então precisamos de um ponto de abcissa 1. Igualando t ao termo de x e igualando x a 1:
$t = \dfrac{x+1/2}{3/2} \\ \\ t = \dfrac{1+1/2}{3/2} \\ \\ t = \dfrac{3/2}{3/2} \\ \\ t = 1$

Substituindo t = 1 nas outras equações:
$t = \dfrac{y-2/3}{2/3} \\ \\ 1 = \dfrac{y-2/3}{2/3} \\ \\ y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} \\ \\ y = \dfrac{4}{3} \\ \\ \\ t = z + 4 \\ 1 = z +4 \\ z=-3$

O ponto de abcissa 1 é:
$\boxed{P = (1, 4/3 ,-3)}$