Question

Obtenha por integral dupla a área entre as curvas y = x e y = 2x, com x variando de 0 a 2.

Answer 1

Acredito que você queira dizer diferença de integrais, pois não é necessário uma integral dupla para calcular essa área. Aliás, sequer é necessário usar integrais, dado que a área sob funções lineares pode ser calculada pela simples fórmula de área do triângulo.

Enfim, mesmo assim, utilizando integral, a área sob y = 2x de 0 a 2 é

$\int\limits^2_0 {2x} \, dx = (2)^2 - (0)^2 = 4$

A área sob y = x de 0 a 2 é

$\int\limits^2_0 {x} \, dx = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$

Portanto, a área entre as curvas é o módulo da diferença das integrais:

A = |4 - 2| = 2 u.a

Obs.: Esse processo de integração é completamente desnecessário neste caso. É equivalente a "matar formiga com fuzil".

Answer 2

$\int\limits^2_1 {\int\limits^2_1 \, dy } dx$, onde a 2ª integral (dy) varia de x a 2x.

$\int\limits^2_1 \, dy=2x-x =x$

$\int\limits^2_1 {x} \ dx=\frac{x^2}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5.$