Obtenha os valores de m e n para que o polinômio P(x)=x^4-mx^3+nx^2-mx+12 seja divisível por x-1 e por x-2.
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Os valores de m e n para que o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 seja divisível por x - 1 e por x - 2 são, respectivamente, iguais a -12 e -37.
Se o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 é divisível por x - 1, então x = 1 é uma raiz, ou seja:
p(1) = 0
1⁴ - m.1³ + n.1² - m.1 + 12 = 0
1 - m + n - m + 12 = 0
-2m + n = -13.
Se o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 é divisível por x - 2, então x = 2 é uma raiz, ou seja:
p(2) = 0
2⁴ - m.2³ + n.2² - m.2 + 12 = 0
16 - 8m + 4n - 2m + 12 = 0
-10m + 4n = -28
-5m + 2n = -14.
Da equação -2m + n = -13, podemos dizer que n = 2m - 13.
Então:
-5m + 2(2m - 13) = -14
-5m + 4m - 26 = -14
-m = 12
m = -12.
Consequentemente:
n = 2.(-12) - 13
n = -24 - 13
n = -37.
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