Question

Obtenha os valores das constantes c e d de modo que 2x^3 + 5x^2 + cx + d seja divisível por (x-1)^2.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Yukon, que a resolução é mais ou menos fácil.
São pedidos os valores dos coeficientes "c" e "d" de modo que a função f(x) = 2x³ + 5x² + cx + d seja divisível por d(x) = (x-1)² .
Note que se desenvolvermos o quadrado que está em d(x), teremos:
d(x)= (x-1)² ---> d(x) = x² - 2x + 1.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos fazer a divisão de f(x) = 2x³ + 5x² + cx + d por d(x) = x²-2x+1 pelo método tradicional, que é este:

2x³ + 5x² + cx + d |_x² - 2x + 1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . 2x + 9 <--- quociente
-2x³+4x²-2x
--------------------------
0...9x²+cx-2x + d
...-9x² +.. 18x  - 9
----------------------------
....0 .+cx+16x+ d-9 <--- Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, então vamos parar por aqui e vamos trabalhar com o resto que ficou. Nota: como f(x) é divisível por d(x), então o resto será igual a zero (ou seja, a divisão vai deixar resto zero). Assim, vamos igualar todo o resto a zero, ficando assim:

cx + 16x + d - 9 = 0 ----- colocando-se "x" em evidência em"cx+16x", teremos::

(c +16)x + d-9 = 0 ------- note: como o 2º membro é igual a zero, então é como se fosse assim:

(c+16)x + d-9 = 0x + 0 ----- agora vamos comparar os termos do primeiro membro com os do segundo membro. Vamos igualar os coeficientes de "x" do primeiro membro com o coeficiente de "x" do 2º membro e vamos comparar o termo independente do 1º membro com o termo independente do 2º membro. Fazendo isso, termos:

c+16 = 0 ----> c = - 16  <--- Este é o valor do coeficiente "c".
e
d - 9 = 0 ---> d = 9 <--- Este é o valor do coeficiente "d".

ii) Assim, os valores de "c" e "d" pedidos serão estes:

c = -16 e d = 9 <--- Esta é a resposta.

iii) Bem, a resposta já está dada. Mas, por mera curiosidade, vamos ver se com c = -16 e d = 9, teríamos uma divisão exata (ou seja, deixa resto "0") quando fizermos a divisão de f(x) por d(x). Vamos ver:

2x³ + 5x² - 16x + 9 |_ x² - 2x + 1_| <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x + 9 <--- quociente
-2x³+4x² - 2x
-----------------------------
0 + 9x² - 18x + 9
.,..- 9x² + 18x - 9
----------------------------
.......0......0.......0 <--- Veja que o resto deu zero, o que teria que dar mesmo, pois f(x) é divisível por d(x).

Assim, como você viu, os valores de "c" e "d' são, realmente, os que encontramos antes, ou seja: c = - 16 e d = 9.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.