Question

Obtenha os pontos de π1 : X = (1, 0, 0)+λ(2, 1, 1)+µ(0, 0, 1) que pertencem a π2 = x+y+z−1 = 0

Answer 1

Podemos "compactar" a escrita dos pontos do plano $\pi_1$ como:

$X = (1,0,0)+\lambda(2,1,1)+\mu(0,0,1)\\\\X = (1,0,0)+(2\lambda,\lambda,\lambda)+(0,0,\mu)\\\\X = (1+2\lambda,\lambda,\lambda+\mu)$

Agora, basta substituirmos na equação do plano $\pi_2$:

$x + y + z - 1 = 0\\\\(1 + 2\lambda) + (\lambda) + (\lambda + \mu) - 1 = 0\\\\1 + 2\lambda + \lambda + \lambda + \mu - 1 = 0\\\\4\lambda + \mu = 0\\\\\boxed{\mu = -4\lambda}$

Portanto, os pontos de $\pi_1$ que também pertencem a $\pi_2$ são da forma:

$X = (1+2\lambda,\,\lambda,\,\lambda-\bold{4\lambda})\\\\X = (1+2\lambda,\,\lambda,\,-3\lambda)\\\\X = (1,0,0) + (2\lambda,\,\lambda,\,-3\lambda)\\\\\boxed{X = (1,0,0)+\lambda(2,\,1,\,-3)}$

Que, como era de se esperar (por se tratar da interseção entre dois planos), é a equação de uma reta.