Question

Obtenha os intervalos da função f(x)= -x³ +12x² -4x +1 em que ela é côncava para cima ou côncava para baixo, indicando seus eventuais pontos de inflexão.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = - x {}^{3} + 12x {}^{2} - 4x + 1$

A questão quer saber qual o intervalo em que ela é côncava para cima e côncava para baixo, além de ser o seu ponto de inflexão.

• Determinação da concavidade:

A concavidade de uma função pode ser estudada através da derivada segunda, então vamos começar derivando essa função (2x):

$f''(x) = - 6x + 24$

Agora devemos colocar essa expressão como maior e menor que "0", pois assim vamos descobrir quando ela é positiva e negativa:

$- 6x + 24 > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: - 6x + 24 < 0 \: \: \: \: \: \: \\ - 6x > - 24. (- 1) \: \: - 6x < - 24.( - 1) \\ 6x <24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 6x > 24 \\ x < 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x > 4$

Portanto temos que a mudança de sinal no ponto em que x = 4, logo podemos concluir que esse é o ponto de inflexão. Sobre a concavidade devemos lembrar que:

$f''(x) > 0 \to concavidade \: para \: cima \\ f''(x) < 0\to concavidade \: para \: baixo$

Então é possível concluir que:

$( - \infty ,4) \to c \hat{o}ncava \: para \: baixo \\ (4, + \infty ) \to c \hat{o}ncava \: para \: cima$

Espero ter ajudado