Question

Obtenha os focos da hipérbole de equação $- 8x^{2} + y^{2 } + 56x - 4y = 92$

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema é possível que os valores dos focos da hipérbole são iguais a (5,2) e (2,2). E para chegar a essa conclusão tivemos que usar a expressão da equação canônica da hipérbole como base para a solução do problema.

• E qual é a expressão desta equação canônica da hipérbole?

A equação canônica da hipérbole tem a expressão:

$\boxed{\boxed{\quad\sf \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\quad}}$

Tendo em conta esta expressão podemos encontrar a solução do nosso problema.

O problema diz para obter os focos da hipérbole cuja equação geral é: $\sf - 8x^{2} + y^{2 } + 56x - 4y = 92$

Como só temos a equação geral da hipérbole e não sua equação canônica, o que vamos fazer é reduzir a equação geral de tal forma que a terminemos transformada na equação canônica.

• Para realizar essa transformação podemos usar o método de completar quadrado.

A primeira coisa que vamos fazer é reduzir a equação geral a uma expressão semelhante, para isso podemos aplicar a Álgebra.

$\sf - 8x^{2} + 56x +y^2 - 4y = 92\\\\\\\\ \sf (- 8x^{2} + 56x) +(y^2 - 4y) = 92\\\\\\\\ \sf -8(x^2-7x)+(y^2-4y)=92$

Nesta expressão devemos completar um binômio quadrado perfeito, se quisermos construir um binômio quadrado com uma expressão como: $\sf x ^ 2 \pm ax =\left(x\pm\dfrac{a}{2}\right )-\dfrac{a^2}{4}$

Montando nossos binômios para nossa expressão:

$\sf x ^ 2 - 7x =\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2-\dfrac{7^2}{4}\\\\\\\\ \boxed{\boxed{ \sf =\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2-\dfrac{49}{4}}}$

$\sf y ^ 2 -4 y =\left(y-\dfrac{4}{2}\right )^2-\dfrac{4^2}{4}\\\\\\\\ \sf =\left(y-\dfrac{4}{2}\right )^2-\dfrac{16}{4}\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf =\left(y-2\right )^2-4}}$

Podemos substituir os valores das expressões que obtivemos na equação geral da hipérbole.

$\sf -8\left[\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2-\dfrac{49}{4}\right]+\left[(y-2)^2-4\right]=92\\\\\\\\ \sf -8\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2+98+(y+2)^2-4=92\\\\\\\\ \sf -8\left (x-\dfrac{7}{2}\right )^2+(y-2)^2=92-98+4\\\\\\\\ \sf -8\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2+(y-2)^2=-2$

Vemos que nossa expressão é ainda mais parecida com a expressão da equação canônica da hipérbole com apenas uma pequena diferença e que a expressão não possui essas frações, o 1 no final do igual e aqueles valores de a e b , muito bem o que vamos fazer é dividir ambas as partes da expressão pelo coeficiente - 2

$\sf\dfrac{ 8\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2}{2}-\dfrac{(y-2)^2}{2}=\dfrac{-2}{-2} \\\\\\\\ \sf\dfrac{ 8\left(x-\dfrac{7}{2}\right )^2}{2}-\dfrac{(y-2)^2}{2}=1\\\\\\\ \sf 4\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{(y-2)^2}{2}=1\\\\\\\\ \sf \dfrac{\left (x-\dfrac{7}{2}\right )^2}{\dfrac{1}{4}}-\dfrac{(y-2)^2}{2}=1$

Vemos que essa expressão é semelhante à equação canônica da hipérbole, mas parece que nessa expressão temos apenas os valores de $\sf a ^2$ e $\sf b^ 2$ , então o que vamos fazer é obter a raiz quadrada dos denominadores de cada fração.

$\sf \dfrac{\left (x-\dfrac{7}{2}\right )^2}{\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\right)}-\dfrac{(y-2)^2}{\left(\sqrt{2}\right)}=1\\\\\\\\ \sf \dfrac{\left (x-\dfrac{7}{2}\right )^2}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}-\dfrac{(y-2)^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=1$

Levando em conta nossa equação canônica para nossa hipérbole será possível calcular seus focos, para calcular os focos usaremos as seguintes fórmulas:

$\boxed{\boxed{\quad\sf F _1 = (h + c , k )\quad}}$

$\boxed{\boxed{\quad\sf F _2 = (h - c , k )\quad}}$

Para encontrar os valores de h e k é necessário comparar a expressão canônica da hipérbole com a equação que temos, se fizermos isso levaremos em consideração os seguintes valores h = 7/2 e k = 2.

Assim substituindo estes valores podemos obter que os focos desta hipérbole sejam calculados com a expressão:

$\sf F _1 = \left (\dfrac{7}{2}+ c , 2\right )\\ \sf F _2 = \left (\dfrac{7}{2}- c , 2 \right )$

Mas como queremos os valores dos focos e não a expressão com a qual eles são calculados, vamos calcular o valor de c, esse valor é calculado aplicando o teorema de Pitágoras da seguinte forma:

$\sf c =\sqrt{a ^2 + b^2}\\\\\\\\ \sf Substituindo~ os ~valores ~de~ a^2~ e ~b^2 : c =\sqrt{\dfrac{1}{4}+ 2}\\\\\\\\ \sf c =\sqrt{\dfrac{1}{4}+ \dfrac{8}{4}}\\\\\\\\ \sf c = \sqrt{\dfrac{9}{4}}\quad \Longrightarrow~\quad c = \dfrac{3}{2}$

Calculando os focos da hipérbole:

$\sf F _1 = \left (\dfrac{7}{2}+ \dfrac{3}{2} , 2 \right )\\\\\\\\ \sf F _ 1 = \left(\dfrac{10}{2},2\right)\\\\\\\\ \boxed{\boxed{ \sf F _ 1 =\left(5,2\right)}}\Longrightarrow~\quad \sf Resposta \checkmark\\\\\\\\ \sf F _2 = \left (\dfrac{7}{2}- \dfrac{3}{2} , 2 \right )\\\\\\\\ \sf F _2 = \left (\dfrac{4}{2}, 2 \right )\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf F _ 2 =\left (2,2\right)}}\Longrightarrow~\quad \sf Resposta \checkmark$

Feitos os cálculos, acabamos de concluir que os valores dos focos são (5,2) e (2,2).

Bons estudos e espero que te ajude :v

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