Question

obtenha os coeficientes b e c para que a função f(x)=x^3+bx^2+c tenha extremo (maximo ou minimo) relativo, no ponto de coordenadas (-2,1)

Answer 1

Utilizando derivadas para obtermos pontos criticos, temos a equação completa:

$f(x)=x^3+3x^2-3$

Explicação passo-a-passo:

Os extremos de uma função são os pontos criticos de uma função, que podemos obter derivando a função:

$f(x)=x^3+bx^2+c$

$f'(x)=3x^2+2bx$

Agora basta igualarmos a derivada a 0 para obtermos os pontos criticos:

$3x^2+2bx=0$

$x(3x+2b)=0$

$3x+2b=0$

$3x=-2b$

$x=-\frac{2b}{3}$

Encontramos este valor de x para o ponto critico, mas sabemos que o ponto critico dado é (-2,1), então x tem que valer -2:

$x=-\frac{2b}{3}$

$-2=-\frac{2b}{3}$

$1=\frac{b}{3}$

$b=3$

Assim já sabemos o valor de b, voltando a equação original:

$f(x)=x^3+3x^2+c$

Agora precisamos que esta equação passe pelo ponto (-2,1) para ser veridica, então substituindo os valores de x e y na equação:

$1=(-2)^3+3(-2)^2+c$

$1=-8+12+c$

$c=-3$

Tendo o valor de c também, temos a equação completa:

$f(x)=x^3+3x^2-3$