Question

Obtenha o valor de k para o qual a função y = x2 + kx + 9 tem apenas uma raiz real:

a) – 5

b) – 4

c) – 3

d) 5

e) 6

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de "k" para que a função y = x² + kx + 9 tenha apenas uma raiz real (na verdade são duas raízes reais e ambas iguais).

Veja: para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e ambas iguais é necessário e suficiente que o seu delta (b²-4ac) seja IGUAL a zero.
Note que o delta da função da sua questão é este: k²-4*1*9. Então vamos impor que ele seja igual a zero. Assim:

k² - 4*1*9 = 0
k² - 36 = 0
k² = 36
k = +-√(36) ------ como √(36) = 6, teremos;
k = +-6 ------ Assim, o valor de "k" poderá ser:

k' = - 6
k'' = 6

Note: se o "k" for igual a "-6" ou o "k" for igual a "6", em ambas as hipóteses a função dada terá uma única raiz real (duas raízes reais e ambas iguais).

Contudo, como não há opções dando dois possíveis valores para "k", então somos obrigados a eleger a opção "e", que dá o valor de "k" igual a 6, ou seja:

e) 6 <--- Esta é a resposta. Opção "e", mas valendo anotar que o "k" tanto poderia ser igual a "6" como igual a "-6", pois em ambos os casos, a função dada teria uma única raiz real (duas raízes reais e ambas iguais).

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como se k = - 6 ou k = 6, em ambas as hipóteses, encontraremos uma única raiz real. Veja:

i) para k = 6, teremos;

x² + 6x + 9 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = - 3 <--- veja: uma única raiz real (ou duas raízes reais e ambas iguais a "-3")

ii) Para k = - 6, teremos:

x² - 6x + 9 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = x'' = 3 <--- Veja: uma única raiz real também.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.