Question

obtenha o valor de k, de modo que o número complexo Z=(2k-18)+4i seja um número imaginário puro

Answer 1

1) Para determinar as raizes de uma equação, é só calcular o X' e o X'', lembra? Pela formula de Bhakara também é possivel. =D
Temos: x² -2x + 2 = 0. Então:
a = 1, b = -2 e c = 2.
∆ = b² - 4ac
∆ = (-2)² - 4*1*2
∆ = 4 - 8
∆ = -4 ---> A raiz não é real, pois ela é menor que 0. A questão não informa que podemos resolver no universo dos numeros complexos, mas pelas outras questões vemos que esse é o assunto que ela quer que seja estudado, logo:
x = [-b ± √(∆)] / 2a
x = [-(-2) ± √(-4)] / 2*1
x = [2 ± √(4*i²)] / 2 ---> i² = -1
x = (2 ± 2i) / 2 ---> Divide tudo por 2.
x = 1 ± i ---> calculamos com +, depois com -. =D
x' = 1 + i
x'' = 1 - i
Pronto. As raízes são: 1 + i ou 1 - i.
2) Para que um numero complexo seja real, a sua parte imaginária precisa ser nula, ou seja, i = 0. Então:
z = 6 + (2x - 4)i
Temos que 6 é a parte real e 2x - 4 é a parte imaginária, logo temos que igualar 2x - 4 a 0.
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Pronto. Para que z = 6 + (2x - 4)i seja real, x tem que ser igual a 2.
3) Para que um numero complexo seja um imaginário puro, a parte real tem que ser nula. O contrário do outro. =D
Temos: z = 3i + k² + ki - 9
Organizando as informações temos: z = (k² - 9) + (3 + k)i
Então, temos que igualar k² - 9, que é a parte real, a 0 para que seja um numero imaginário puro.
k² - 9 = 0
k² = 9
k = √9
k = 3
Pronto! Concluímos que k tem que ser igual a 3 para que z = 3i + k² + ki - 9 seja um número imaginário puro.
4) Quando igualamos numeros complexos a outros, nós temo que igualar a parte real à real e a imaginária à imaginária. Exemplo:
a + bi = c + di
a = c
b = d
Certo? =D
Então, na questão temos:
x + (3y + 2)i = 1 + 8i
Logo:
x = 1
e
3y + 2 = 8
3y = 8 - 2
y = 6/3
y = 2
Pronto! x = 1 e y = 2. =D
5) Lembra da questão 3? para que ele seja um imaginário puro ele precisa que a parte real seja nula. Isso quer dizer que ele não vai ser real. É exatamente esse caso. =D
Vamos lá. Temos que: z = (x² -5x + 6) + (1 + x)i
A parte real é x² -5x + 6 e a imaginária 1 + x. Já que é para não ser um real, então a sua parte real tem que ser nula, ou seja, igual a 0 (zero). Logo:
x² -5x + 6 = 0 ---> temos uma equação do 2º grau. Vamos resolver por Bhaskara.
a = 1
b = -5
c = 6
∆ = b² - 4ac
∆ = (-5)² - 4 * 1 * 6
∆ = 25 - 24
∆ = 1
x = [-b ± √(∆)] / 2a
x = [-(-5) ± √1] / 2 * 1
x = (5 ± 1) / 2
x' = (5 + 1) / 2
x' = 6 / 2
x' = 3
x'' = (5 - 1) / 2
x'' = 4 / 2
x'' = 2
Pronto! O x pode ser igual a 3 ou igual a 2 para que z = (x² -5x + 6) + (1 + x)i não seja um numero real. =D