Obtenha o valor da área (unidades de área, u.a) sob o gráfico da função f(x) = ax2+bx+c limitada
pelas coordenadas A (0,0) e B (4,0). Considere a= 0,5; b= 0,1 e c=2 e responda o que se pede
abaixo:
a) O que se pode concluir sobre o valor obtido ao utilizarmos retângulos aproximantes superiores
e inferiores para a essa estimativa quando o número de subintervalos aumenta?
b) O valor obtido a partir do cálculo da área com integral é maior, menor ou igual ao obeservado
quando se utiliza a técnica a ser aplicada no item a? Explique o motivo das diferenças
observadas.
c) Represente o gráfico da área delimitada no intervalo referido acima.
Soluções para a tarefa
A) Para retângulos aproximantes superiores, utilizando 4 retângulos de base igual a 1, obteremos:
R1: x = 1 → A1 = f(1) = 0,5 + 0,1 + 2 = 2,6
R2: x = 2 → A2 = f(2) = 2 + 0,2 + 2 = 4,2
R3: x = 3 → A3 = f(3) = 4,5 + 0,3 + 2 = 6,8
R4: x = 4 → A4 = f(4) = 8 + 0,4 + 2 = 10,4
Somando as áreas, obtemos Atotal = 24 u.m.²
Utilizando triângulos aproximantes inferiores, temos:
R1: x = 0 → A1 = f(0) = 0 + 0 + 2 = 2
R2: x = 1 → A2 = f(1) = 0,5 + 0,1 + 2 = 2,6
R3: x = 2 → A3 = f(2) = 2 + 0,2 + 2 = 4,2
R4: x = 3 → A4 = f(3) = 4,5 + 0,3 + 2 = 6,8
Atotal = 15,6.
Quando o número de subintervalos aumenta, o erro causado pela diferença na curva e nos retângulos diminui fazendo com que os valores convirjam para uma aproximação da área exata.
B) Resolvendo a integral:
Portanto, o valor obtido está entre o intervalo do método anterior, porém menor que o valor obtido para os triângulos superiores. A integral aplica o método dos retângulos para um número infinito de subintervalos, fazendo com que os erros sejam mínimos.