Question

Obtenha o ponto em que a reta tangente à curva f(x)= x+1/√x-1 é paralela ao eixo do x.

Answer 1

A reta tangente à curva é paralela ao eixo x no ponto $(3,2\sqrt{2})$

Reta paralela

Para uma reta ser paralela ao eixo dos x, sua derivada deve ser igual a zero.

Derivada da função

Assim, derivamos a função dada

$f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x-1} }$

Pela regra do quociente, fazemos

$f(x) = \frac{u}{v} = > f'(x) = \frac{vu' - uv'}{v^2}\\\\u = x+1\\u' = 1\\v = (x-1)^\frac{1}{2}\\v'=\frac{1}{2}(x-1)^\frac{-1}{2}$

$f'(x) = \frac{(x-1)^\frac{1}{2}-(x+1)\frac{1}{2}(x-1)^\frac{-1}{2}}{x-1}\\\\f'(x) = \frac{\frac{2(x-1)}{2\sqrt{x-1}}-\frac{x+1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}\\f'(x) = \frac{2x-2-x-1}{2\sqrt{x-1}(x-1)}\\f'(x) = \frac{x-3}{2\sqrt{x-1}(x-1)}$

Encontrando o ponto da reta tangente

Agora igualamos a zero:

$\frac{x-3}{2\sqrt{x-1}(x-1)} = 0\\\\x=3$

Após, achamos f(3)

$f(3) = \frac{3+1}{\sqrt{3-1} } = \frac{4}{\sqrt{2} }=2\sqrt{2}$

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