Question

Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 5 da função LaTeX: f(x)=senxf(x)=senx em torno de LaTeX: x_0=0x0=0

Answer 1

O polinômio de Taylor de ordem n de f(x) em torno do ponto p é encontrado pela expressão:
$Pn(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + \dfrac{f''(p)}{2}(x-p)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(p)}{n!} (x-p)^n$


Temos então que o polinômio de Taylor de ordem 5 da função sen(x) em torno de 0 é:
$P5(x) = sen(0) + cos(0)(x-0) + \dfrac{-sen(0)}{2}(x-0)^2 +\dfrac{-cos(0)}{3}(x-0)^3 \\ +\dfrac{sen(0)}{4}(x-0)^4 +\dfrac{cos(0)}{5}(x-0)^5$


Sabemos que sen(0) = 0 e cos(0) = 1, portanto, os termos que contém sen(0) irão desaparecer, sobrando então:
$P5(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5}$