Question

obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 de função f(x)=e^x^2 no ponto de x0=0​

Answer 1

Fórmula geral do Polinômio de Taylor:

$T(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{ f''(x_0) \cdot (x-x_0)^2}{2!} + \frac{ f'''(x_0) \cdot (x-x_0)^3}{3!} + ...$

Para conseguir determinar o polinômio de terceira ordem, é necessário encontrar a primeira, a segunda e a terceira derivadas da função f(x). Logo:

$f(x) = e^{x^2} \\ \\f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \\ \\f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2 \cdot e^{x^2} ~~ \leftrightarrow ~~ f''(x) = 2e^{x^2} \cdot (2x^2+1)\\ \\f'''(x) = 4e^{x^2}x \cdot (2x^2+3)$

Observação: para encontrar f'(x), deriva-se internamente (x²) e depois externamente (e^(x²)); já para encontrar f''(x), utiliza-se a regra da derivada do produto com a regra anteriormente citada; para f'''(x) vide trecho anterior.

Agora, basta aplicar o ponto Xo = 0 nas funções acima.

$f(x) = e^{x^2} ~~~ \to ~~~ f(0) = 1 \\ \\f'(x) = 2x \cdot e^{x^2} ~~~ \to ~~~ f'(0) = 0 \\ \\f''(x) = 2e^{x^2} \cdot (2x^2+1) ~~~ \to ~~~ f''(0) = 2 \cdot 1 = 2\\ \\f'''(x) = 4e^{x^2}x \cdot (2x^2+3) ~~~ \to ~~~ f'''(0) = 0$

Por fim, substitua os valores encontrados na Fórmula de Taylor:

$P(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{ f''(x_0) \cdot (x-x_0)^2}{2!} + \frac{ f'''(x_0) \cdot (x-x_0)^3}{3!} \\ \\P(x) = 1 + 0 \cdot (x-0) + \frac{ 2 \cdot (x-0)^2}{2!} + \frac{ 0 \cdot (x-0)^3}{3!} \\ \\\boxed{P(x) = 1 + x^2}$

Portanto, o Polinômio de Taylor de terceira ordem está presente na alternativa D.