Question

Obtenha o módulo e o argumento do número complexo z = - 1 - i

Answer 1

Um número complexo pode ser representado num sistemas de coordenadas cartesianas, onde a parte real corresponde ao eixo x (eixo real) e a parte imaginária corresponde ao eixo y (eixo imaginário).

Desta forma, um número complexo z = a + bi forma um triângulo retângulo de catetos a e b, e hipotenusa igual ao módulo de z (|z|).

O argumento do número z é o arco formado entre o eixo horizontal positivo e o módulo de z.

Desta forma, temos:
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

Como a = -1 e b = -1:
$|z| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \\ \\ |z| = \sqrt{2}$

Pela relação trigonométrica $cos(\Theta) = \dfrac{a}{|z|}$, temos:
$cos(\Theta) = \dfrac{-1}{ \sqrt{2} } = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. Então o argumento de z é 225º.

Portanto:
|z| = √2
arg(z) = 225º