Question

Obtenha o circuito equivalente de Thévenin visto pelos terminais a-b dos circuitos a seguir.
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Answer 1

O objetivo do equivalente de Thevenin é simplificar o circuito "visto" de dois pontos selecionados de modo que futuras análises ou mudanças sejam facilitadas.

Neste equivalente, o circuito é simplificado como uma fonte de tensão (Vth) em série com uma resistência (Rth) como pode ser visto na figura anexada à resolução.

A tensão Vth é igual a tensão de circuito aberto entre os pontos A e B  do circuito. Já para determinarmos a resistência Rth, vamos curto circuitar os pontos A e B e determinar a corrente de curto-circuito Isc. O valor de Rth será dado pelo quociente entre Vth e Isc.

Podemos analisar estes circuitos de diversas formas, algumas mais simples que outras, no entanto, nesta resolução, será utilizada apenas a Lei de Kirchhoff das Correntes (lei dos nós).

a)

$\boxed{V_{Th}~=~V_B}$

Temos 4 nós no circuito (ver desenho) e 1 fonte de tensão, portanto teremos 2 equações de nó.  

Para o nó A:

$\sf \dfrac{V_A-12}{6}~+~\dfrac{V_A-0}{12}~+~\dfrac{V_A-V_B}{3}~=~0\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~12\\\\\\2V_A-24~+~V_A~+~4V_A-4V_B~=~0\\\\\\\boxed{\sf 7V_A-4V_B~=~24}$

Para o nó B:

$\sf \dfrac{V_A-V_B}{3}~+~2~=~0\\\\\\Multiplicando~por~3\\\\\\V_A-V_B~+~6~=~0\\\\\\\boxed{V_A-V_B~=\,-6}$

Vamos multiplicar a 2ª equação por (-7) e soma-la à 1ª equação para obter o valor da tensão no nó B:

$\sf -7\cdot (V_A-V_B)~+~(7V_A-4V_B)~=\,-7\cdot (-6)+24\\\\\\-7V_A+7V_B~+~7V_A-4V_B~=~42+24\\\\\\3V_B~=~66\\\\\\V_B~=~\dfrac{66}{3}\\\\\\\boxed{\sf V_B~=~22~V}$

Assim, temos   $\boxed{\sf V_{Th}~=~22~V}$

Curto circuitando os pontos ab, teremos uma nova equação para o nó B, já que agora uma corrente Isc atravessa o resistor de 2Ω, enquanto que a equação para o nó A permanece inalterada.

Nova equação para o nó B:

$\sf\dfrac{V_A-V_B}{3}~+~2~-~\dfrac{V_B-0}{2}~=~0\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~6:\\\\\\2V_A-2V_B~+~12~-~3V_B~=~0\\\\\\\boxed{\sf 2V_A-5V_B~=\,-12}$

Vamos multiplicar a equação do nó A por 2 e soma-la à nova equação do nó B multiplicada por (-7) para determinarmos a nova tensão do nó B.

$\sf 2\cdot (7V_A-4V_B)~-~7\cdot (2V_A-5V_B)~=~2\cdot 24-7\cdot (-12)\\\\\\14V_A-8V_B~-~14V_A+35V_B~=~48+84\\\\\\27V_B~=~132\\\\\\V_B~=~\dfrac{132}{27}\\\\\\\boxed{\sf V_B~=~\dfrac{44}{9}~V}$

A corrente Isc fica:

$\sf I_{sc}~=~\dfrac{V_B-0}{2}\\\\\\I_{sc}~=~\dfrac{\dfrac{44}{9}}{2}\\\\\\\boxed{\sf I_{sc}~=~\dfrac{22}{9}}$

Por fim, temos que a resistência Rth vale:

$\sf R_{Th}~=~\dfrac{V_{Th}}{I_{sc}}\\\\\\R_{Th}~=~\dfrac{22}{\dfrac{22}{9}}\\\\\\\boxed{\sf R_{Th}~=~9~\Omega}$

b)

$\boxed{V_{Th}~=~V_B}$

Temos 4 nós no circuito (ver desenho) e 1 fonte de tensão, portanto teremos 2 equações de nó.  

Para o nó A:

$\sf \dfrac{V_A-120}{20}~-~2~+~\dfrac{V_A-V_B}{40}~=~0\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~40\\\\\\2V_A-240~-~80~+~V_A~-~V_B~=~0\\\\\\\boxed{\sf 3V_A-V_B~=~320}$

Para o nó B:

$\sf -\dfrac{V_A-V_B}{40}~+~2~+~\dfrac{V_B-0}{12}~=~0\\\\\\Multiplicando~por~120\\\\\\-3V_A+3V_B~+~240~+~10V_B~=~0\\\\\\\boxed{-3V_A+13V_B~=\,-240}$

Vamos somar as duas equações para obter o valor da tensão no nó B:

$\sf (3V_A-V_B)~+(-3V_A+13V_B)~=~320~+~(-240)\\\\\\12V_B~=~80\\\\\\V_B~=~\dfrac{80}{12}\\\\\\\boxed{\sf V_{B}~=~\dfrac{20}{3}~V~~ \approx~6,67~V}$

Assim, temos   $\boxed{\sf V_{Th}~=~\dfrac{20}{3}~V}$

Curto circuitando os pontos ab, teremos a tensão no nó B igual a 0V e nenhuma corrente atravessará o resistor de 12Ω. Teremos então uma nova equação para o nó A.

Nova equação para o nó A:

$\sf \dfrac{V_A-120}{20}~-~2~+~\dfrac{V_A-0}{40}~=~0\\\\\\Multiplicando~por~40\\\\\\2V_A-240~-~80~+~V_A~=~0\\\\\\3V_A~=~320\\\\\\\boxed{\sf V_A~=~\dfrac{320}{3}~A}$

Note que a corrente Isc é a corrente que passa pelo resistor de 20Ω.

$\sf I_{sc}~=~\dfrac{120-V_A}{20}\\\\\\I_{sc}~=~\dfrac{120-\dfrac{320}{3}}{20}\\\\\\I_{sc}~=~\dfrac{\dfrac{40}{3}}{20}\\\\\\\boxed{\sf I_{sc}~=~\dfrac{2}{3}~A~~\approx~666,7~mA}$

Por fim, temos que a resistência Rth vale:

$\sf R_{Th}~=~\dfrac{V_{Th}}{I_{sc}}\\\\\\R_{Th}~=~\dfrac{\dfrac{20}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\\\\\\boxed{\sf R_{Th}~=~10~\Omega}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$