Question

Obtenha o centro e o raio da circunferência no caso: x² + y² + 2x - 8y + 8 = 0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o centro e o raio da referida circunferência são, respectivamente:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C(-1, \,4)\:\:\:e\:\:\:r = 3\,u.\,c.\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação geral da circunferência:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} + 2x - 8y + 8 = 0\end{gathered}$

Para recuperar tanto o centro quanto o raio da circunferência, a partir de sua equação geral, devemos completar os quadrados da equação  tanto para a incógnita "x" quanto para a incógnita "y", até chegar à forma reduzida, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = r^{2}\end{gathered}$

Para isso, fazemos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} + 2x - 8y + 8 = 0\end{gathered}$

         $\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} + 2x + \bigg(\frac{2}{2}\bigg)^{2}\right] + \left[y^{2} - 8y + \bigg(-\frac{8}{2}\bigg)^{2}\right] = -8 + \bigg(\frac{2}{2}\bigg)^{2} + \bigg(-\frac{8}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} + 2x + 1^{2}\right] + \left[y^{2} - 8y + (-4)^{2}\right] = -8 + 1^{2} + (-4)^{2}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} + 2x + 1\right] + \left[y^{2} - 8y + 16\right] = -8 + 1 + 16\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 9\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 3^{2}\end{gathered}$

✅ Agora só nos resta comparar a equação obtida com equação "I". Desta forma, deduzimos que o centro e o raio são, respectivamente:

                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} C(-1, 4)\end{gathered}$

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = 3\:u.\:c.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$