Question

obtenha o 53º termo de (2x+b)^100 ( análise combinatória, usando binomio de newton )

Answer 1

Olá amigo.

Primeiramente, devemos saber que para um binômio de newton do tipo:

(x+a)ⁿ

A fórmula de cada termo pode ser dada por:

$T p+1 = C_{n,p} * \frac{(x)^[n-p]} * (a)^p$

Como o binômio é (2x+b)¹⁰⁰ e queremos o termo 53, temos que:

"x" = 2x

"a" = b

"n" = 100

"p" = 52

Substituindo, teremos:

T₅₂₊₁ = C₁₀₀,₅₂ * [(2x)¹⁰⁰/(2x)⁵²]* (b)⁵²

T₅₂₊₁ = C₁₀₀,₅₂ * (2x)¹⁰⁰⁻⁵² * (b)⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * (2x)⁴⁸ * b⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * 2⁴⁸ * x⁴⁸ * b⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * 2⁴⁸ * b⁵² * x⁴⁸

ou

T₅₃ = 100!/(52!*48!) * 2⁴⁸ * b⁵² * x⁴⁸

NOlá amigo.

Primeiramente, devemos saber que para um binômio de newton do tipo:

(x+a)ⁿ

A fórmula de cada termo pode ser dada por:

$T p+1 = C_{n,p} * \frac{(x)^n}{(x)^p} * (a)^p$

Como o binômio é (2x+b)¹⁰⁰ e queremos o termo 53, temos que:

"x" = 2x

"a" = b

"n" = 100

"p" = 52

Substituindo, teremos:

T₅₂₊₁ = C₁₀₀,₅₂ * [(2x)¹⁰⁰/(2x)⁵²]* (b)⁵²

T₅₂₊₁ = C₁₀₀,₅₂ * (2x)¹⁰⁰⁻⁵² * (b)⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * (2x)⁴⁸ * b⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * 2⁴⁸ * x⁴⁸ * b⁵²

T₅₃ = C₁₀₀,₅₂ * 2⁴⁸ * b⁵² * x⁴⁸

ou

T₅₃ = 100!/(52!*48!) * 2⁴⁸ * b⁵² * x⁴⁸

Não convém expandir os valores porque o coeficiente será um número gigante.