obtenha o 15° termo da P.G (√2, 2,2√2, 4,4√2,...)
Soluções para a tarefa
Boa tarde, Bianca! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.G. (√2, 2, 2√2, 4, 4√2, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁): √2
b)décimo quinto termo (a₁₅): ?
c)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PG seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PG infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15º), equivalente ao número de termos.)
(II)Determinação da razão (q) da progressão geométrica:
q = a₂ / a₁ =>
q = 2 / √2 (Racionaliza-se o denominador.)
q = 2√2 / √2.√2 =>
q = 2√2 / (√2)² =>
q = 2√2 / 2 (Simplificação: divide-se 2 no numerador por 2 no denominador.)
q = √2
(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.G, para obter-se o décimo quinto termo:
an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₅ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₅ = √2 . (√2)¹⁵⁻¹ =>
a₁₅ = √2 . (√2)¹⁴ (Aplica-se a propriedade da multiplicação entre potências de mesma base, que diz que se deve conservar a base (√2) e somar os expoentes.)
a₁₅ = (√2)¹⁴⁺¹
a₁₅ = (√2)¹⁵
Resposta: O 15º termo da PG(√2, 2,2√2, 4,4√2,...) é a₁₅ = (√2)¹⁵.
DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
-Substituindo a₁₅ = (√2)¹⁵ na fórmula do termo geral da PG, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:
an = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
a₁₅ = a₁ . qⁿ⁻¹ =>
(√2)¹⁵ = √2 . (√2)¹⁵⁻¹ =>
(√2)¹⁵ = √2 . (√2)¹⁴ =>
(√2)¹⁵ = (√2)¹⁴⁺¹ =>
(√2)¹⁵ = (√2)¹⁵
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!