Question

Obtenha equações paramétricas do plano n que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano

x=(1,0,0)+lambda(1,2,-1)+mi(2,1,0)

Answer 1

Obter as equaçõs paramétricas do plano $\alpha,$ que passa pelo ponto $A=(1,\;1,\;2)$ e é paralelo a outro plano $\beta,$ cuja equação vetorial é

$\beta:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;0)+\lambda\,(1,\;2,\;-1)+\mu\,(2,\;1,\;0)$

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Se $\alpha$ e $\beta$ são planos paralelos, todos os vetores de $\beta$ também têm representantes em $\alpha:$


Da equação vetorial de $\beta,$ tiramos que os vetores

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\,(1,\;2,\;-1)~\text{ e }~\overrightarrow{\mathbf{w}}=\,(2,\;1,\;0)$

pertencem ao plano $\beta.$ Logo, $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ também pertencem a $\alpha.$

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Para encontrar uma equação vetorial para o plano $\alpha,$ basta conhecermos um ponto e dois vetores de $\alpha:$

$\alpha:~X=A+\lambda \overrightarrow{\mathbf{v}}+\mu\overrightarrow{\mathbf{w}}\\ \\ \alpha:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;2)+\lambda\,(1,\;2,\;-1)+\mu\,(2,\;1,\;0)$

com $\lambda,\;\mu \in\mathbb{R}.$

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As equações paramétricas são obtidas igualando coordenada a coordenada dos pontos da equação vetorial:

$\alpha:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;2)+(\lambda,\;2\lambda,\;-\lambda)+(2\mu,\;\mu,\;0)\\ \\ \alpha:~(x,\;y,\;z)=(1+\lambda+2\mu,\;1+2\lambda+\mu,\;2-\lambda)\\ \\ \begin{array}{cc} \boxed{\alpha:~\left\{ \begin{array}{l} x=1+\lambda+2\mu\\ \\ y=1+2\lambda+\mu\\ \\ z=2-\lambda \end{array} \right.}~~&~~\text{com }\lambda,\;\mu \in \mathbb{R}. \end{array}$