Question

Obtenha equações paramétricas da hipérbole dada por 3x^2−y^2+18x+18=0.

Answer 1

3(x² + 6x) - y² + 18 = 0
Completando os quadrados para 3(x² + 6x + 9) precisamos adicionar +9 dps dois lados da equação.


3(x²+6x+9) - y² = 9
Perceba que x²+6x + 9 = (x+3)²

3(x+3)² - y² = 9

Dividindo ambos os lados por 9:
I) (x+3)²/3 - y²/9 = 1

A equação canônica é na forma:
$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$
Onde h e k são os pontos do centro da hipérbole.

Reescrevendo I temos:
$\frac{(x+3)^2}{ (\sqrt{3})^2 } - \frac{y^2}{3^3} = 1$

A equação paramétrica de uma hipérbole é da forma:

$\left \{ {{x=a*sec(\theta) + h } \atop {y=b*tan(\theta) +k}} \right.$

Logo, a equação paramétrica é:

$\left \{ {{x= \sqrt{3}sec(\theta) - 3 } \atop {y=3tan(\theta)}} \right.$