Question

Obtenha as equações reduzidas de duas retas que passam pela origem do sistema de coordenadas cartesianas e que formam um ângulo de medida 45º com a reta r, cuja equação é 2x + y - 2 = 0.

Answer 1

Equação da reta r

2x + y - 2 = 0
y = -2x - 2

Assim, a reta r tem coeficiente angular igual a -2, portanto o ângulo que essa reta faz com o eixo x é dado pelo arcotangente de -2

arctg(-2) = -63,435°

Podemos soma 45° a esse ângulo e calcular a tangente dessa soma para determinaro o coeficiente angular "a₁" de uma reta que forma 45° com a reta r. Da mesma forma, podemos proceder subtraindo 45° do ângulo acima e calcular a tangente dessa subtração para ter o coeficiente angular "a₂" de uma segunda reta que forma 45° com a reta r.

a₁ = tg(-63,435° + 45°) = tg(-18,435°) =  -1/3

a₂ = tg(-63,435° - 45°) = tg(-108,435°) = 3

Portanto as retas serão da forma:

y = a₁x + b₁       e     y = a₂x + b₂
y = 3x + b₁               y = -x/3 + b₂

Agora basta determinar os coeficientes lineares das retas (b₁ e b₂) para completar as equações. Como as retas passam pela origem, as retas cruzarão com o eixo y no ponto zero, portanto tanto b₁ quanto b₂ são iguais a zero.

Logo as equações reduzidas das retas que passam pela origem e formam 45° com a reta r serão:

y = 3x        e        y = -x/3