Question

obtenha as equações das retas t que passa por p(3,0) e são tangentes à paràbola(α)x=-2y²

Answer 1

Equação reduzida da reta t:

t: y = ax + b

T passa pelo ponto (3,0), que é a coordenada x = 3 e y = 0, substituindo na equação da reta:

y = a x + b
0 = 3 a + b
b = -3 a

Então a equação da reta tem a forma:

y = ax - 3a
y = a ( x - 3)
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A reta t ser tangente a parabola x = -2y² significa que deve possuir pelo menos um ponto com coordenada (-2y²,y). Substituindo na equação da reta:

y = a (-2y² - 3)
y = -2ay² - 3a
2ay² + y + 3a = 0

Para que haja solução, o discriminante Δ dessa equação do segundo grau deve ser maior ou igual a zero:

Δ = b² - 4ac = (1)² - (4)(2a)(3a) = 1 - 24a²
1 - 24a² ≥ 0
-24a² ≥ - 1
24a² ≤  1

a² ≤ 1/24

então:
+a ≤ 1/2√6   ou   a ≥ - 1/2√6 

a pertence ao intervalo -1/2√6 ≤ a ≤ + 1/2√6 

Logo as equações das retas t que passam pelo ponto p (3,0) e são tangentes a parábola x = 2y², serão do tipo:

y = a(x - 3), com -1/2√6 ≤ a ≤ + 1/2√6