Question

Obtenha as equações das retas que passam por P(1,0) e formam ângulo de 45º com a reta de equação x + 2y – 3 = 0.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Devemos encontrar as equações das retas que passam por $P\,(1,~0)$ e formam um ângulo de $45\°$ com a reta de equação $x+2y-3=0$.

Primeiro, lembre-se que o ângulo $\theta$ formado entre duas retas respeita a equação:

$\tan(\theta)=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|$, em que $m_1$ e $m_2$ são os coeficientes angulares destas retas.

Lembre-se que a equação de uma reta de coeficiente angular $m$ que passa por um ponto $(x_0,~y_0)$ é dada por: $y-y_0=m\cdot (x-x_0)$.

Utilizando a equação da reta que nos foi dada, isolamos a variável $y$:

$y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}$.

Facilmente, podemos ver que seu coeficiente angular é $m_2=-\dfrac{1}{2}$.

Substituindo este valor e $\theta=45\°$ na equação, teremos:

$\tan(45\°)=\left|\dfrac{m_1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}{1+m_1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) }\right|$

Multiplique os valores e calcule o valor da tangente.

$1=\left|\dfrac{m_1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{m_1}{2}}\right|$

Então, sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\ -x,~se~x<0\\\end{cases}$, teremos duas soluções:

$\dfrac{m_1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{m_1}{2}}=1~~~ou~~~\dfrac{m_1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{m_1}{2}}=-1$

Multiplique ambos os lados da equação por $1-\dfrac{m_1}{2},~m_1\neq2$.

$m_1+\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{m_1}{2}~~~ou~~~m_1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{m_1}{2}-1$

Some $\dfrac{m_1}{2}-\dfrac{1}{2}$ em ambos os lados da primeira equação e some $-\dfrac{1}{2}-\dfrac{m_1}{2}$ em ambos os lados da segunda equação.

$m_1+\dfrac{m_1}{2}=1-\dfrac{1}{2}~~~ou~~~m_1-\dfrac{m_1}{2}=-1-\dfrac{1}{2}\\\\\\ \dfrac{3m_1}{2}=\dfrac{1}{2}~~~ou~~~\dfrac{m_1}{2}=-\dfrac{3}{2}$

Multiplique ambos os lados da primeira equação por $\dfrac{2}{3}$ e multiplique ambos os lados da segunda equação por $2$.

$m_1=\dfrac{1}{3}~~~ou~~~m_1=-3$

Utilizando a fórmula da equação da reta e as coordenadas do ponto $P\,(1,~0)$, teremos:

$y-0=\dfrac{1}{3}\cdot(x-1)\\\\\\\ y-0=-3\cdot(x-1)$

Multiplique ambos os das primeira equação por $3$ e efetue a propriedade distributiva da multiplicação na segunda equação.

$3y=x-1\\\\\\\ y=-3x+3$

Some $1-x$ em ambos os lados da primeira equação e some $3x-3$ em ambos os lados da segunda equação.

$-x+3y+1=0\\\\\\\ 3x+y-3=0$

Estas são as equações das retas que passam pelo ponto $P$ e formam um ângulo de $45\°$ com a reta de equação dada pelo enunciado.