Question

obtenha a transformada inversa de laplace de f(s)= 5(s+2)/8²(s+1)(s+3)

Answer 1

• A transformada inversa de laplace é:

    $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5(s+2)}{8^2(s+1)(s+3)} \right\}=\frac{5}{128}e^{-t} + \frac{5}{128} e^{-3t}\end{gathered} }$

Desejamos encontrar a transformada inversa de laplace da seguinte equação:

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5(s+2)}{8^2(s+1)(s+3)} \right\}\end{gathered} }$

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{64}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s+2)}{(s+1)(s+3)} \right\}\end{gathered} }$

Devemos então transformar em uma fração parcial.

        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{64}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{(s+1)} \right\} + \frac{5}{64}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{B}{(s+3)} \right\} \end{gathered} }$

     $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{(s+2)}{(s+1)(s+3)} =\frac{A(s+3)+B(s+1)}{(s+1)(s+3)} \end{gathered}$

• Ficando então:

       $\large\displaystyle\begin{gathered} (s+2) =A(s+3)+B(s+1)\end{gathered}$

Fazendo o s de -1:

⇔            $\large\displaystyle\begin{gathered} 1=2A\end{gathered}$

⇔            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{A=\frac{1}{2}}\end{gathered} }$

Fazendo o s de -3:

⇔        $\large\displaystyle\begin{gathered} -1=-2B\end{gathered}$

⇔           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{B=\frac{1}{2}}\end{gathered} }$

• Temos então que:

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{64}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{(s+1)} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{B}{(s+3)} \right\} \end{gathered} }$

       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{64}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2 }{(s+1)} \right\} + \frac{5}{64} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{(s+3)} \right\} \end{gathered} }$

    $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{128}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1 }{(s+1)} \right\} + \frac{5}{128} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+3)} \right\} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{5}{128}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1 }{(s-(-1))} \right\} + \frac{5}{128} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-(-3))} \right\} \end{gathered} }$ $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5(s+2)}{8^2(s+1)(s+3)} \right\}=\frac{5}{128}e^{-t} + \frac{5}{128} e^{-3t}}}}\ \checkmark \end{gathered} }$

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Answer 2

A transformada inversa de Laplace de F(s) é

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = \frac{5}{128}\left(e^{-t} + e^{-3t}\right)\end{gathered}$

A transformada de Laplace é de suma importância em diversos ramos da matemática, física e engenharia, sobretudo para simplificar problemas complexos quando resolvidos no domínio do tempo, por conta disso usamos a transformada e trabalhamos no domínio de s, para então voltar para o domínio do tempo.

Uma vez que temos uma transformada F(s) dada por uma função racional e desejamos voltar ela para f(t), podemos utilizar das frações parciais, polos e resíduos para retornar a f(t), logo, dada a função F(s)

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(s) = \frac{5(s+2)}{8^2(s+1)(s+3)}\end{gathered}$

Podemos utilizar o método para funções racionais, esse método consiste em dividir F em frações parciais e depois analisar a anti-transformada de cada parcela, para dividir em frações parciais precisamos achar os polos de F(s), i.e. os ponto onde a função F(s) tende a infinito, lembrando que a explicação aqui serve apenas para funções do tipo

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}\end{gathered}$

Onde o grau do polinômio Q >  grau do polinômio P.

Ou seja, os polos são os pontos nos quais

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}Q(s) = 0\end{gathered}$

Os pontos que satisfazem essa condição são chamamos de polos de F, uma vez que sabemos os pontos de uma função podemos escrever ela como

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(s) = \frac{A_1}{s-p_1} + \frac{A_2}{s-p_2} + \cdots + \frac{A_n}{s-p_n} \end{gathered}$

Onde A_n são os resíduos dos polos simples, que são calculados como

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_n = F(s)(s - p_n)\Big|_{s = p_n}\end{gathered}$

Dado isso, vamos a resolver para nossa F, veja que ela já atende a nossa condição de Q > P, seus podem ser facilmente verificados, -1 e -3, logo sua expansão em frações parciais fica

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_1 = -1,\quad p_2 = -3\\ \\F(s) = \frac{A_1}{s+1} + \frac{A_2}{s+3} \end{gathered}$

Agora só precisamos os resíduos, utilizando a fórmula temos

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_1 = F(s)(s + 1)\Big|_{s = -1}\\ \\A_1 = \left.\frac{5(s+2)\cancel{(s + 1)}}{8^2\cancel{(s+1)}(s+3)}\right|_{s = -1}\\ \\A_1 = \left.\frac{5(s+2)}{8^2(s+3)}\right|_{s = -1}\\ \\A_1 = \frac{5(-1+2)}{8^2(-1+3)} = \frac{5}{2 \cdot 8^2} = \frac{5}{128}\end{gathered} }$

Para o resíduo do polo 2

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_2 = F(s)(s + 3)\Big|_{s = -3}\\ \\A_2 = \left.\frac{5(s+2)\cancel{(s + 3)}}{8^2(s+1)\cancel{(s+3)}}\right|_{s = -3}\\ \\A_2 = \left.\frac{5(s+2)}{8^2(s+1)}\right|_{s = -3}\\ \\A_2 = \frac{5(-3+2)}{8^2(-3+1)} = \frac{5}{128} \end{gathered} }$

Portanto

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{F(s) = \frac{5}{128}\cdot \frac{1}{s+1} + \frac{5}{128} \cdot\frac{1}{s+3}} \end{gathered} }$

Sabemos que

                                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{-\alpha t}\right\} = \frac{1}{s+\alpha}\end{gathered} }$

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                                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+\alpha} \right\} = e^{-\alpha t}\end{gathered} }$

Obs: as propriedades de linearidade se aplicam a anti-transformada.

Então podemos concluir que

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = \frac{5}{128}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} + \frac{5}{128}\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+3}\right\}\end{gathered} }$

Utilizando a anti-transformada da exponencial

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = \frac{5}{128}\left(e^{-t} + e^{-3t}\right)}\end{gathered} }$

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