obtenha a transformada inversa de laplace de f(s)= 5(s+2)/8²(s+1)(s+3)
Soluções para a tarefa
- A transformada inversa de laplace é:
Desejamos encontrar a transformada inversa de laplace da seguinte equação:
Devemos então transformar em uma fração parcial.
- Ficando então:
Fazendo o s de -1:
⇔
⇔
Fazendo o s de -3:
⇔
⇔
- Temos então que:
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A transformada inversa de Laplace de F(s) é
A transformada de Laplace é de suma importância em diversos ramos da matemática, física e engenharia, sobretudo para simplificar problemas complexos quando resolvidos no domínio do tempo, por conta disso usamos a transformada e trabalhamos no domínio de s, para então voltar para o domínio do tempo.
Uma vez que temos uma transformada F(s) dada por uma função racional e desejamos voltar ela para f(t), podemos utilizar das frações parciais, polos e resíduos para retornar a f(t), logo, dada a função F(s)
Podemos utilizar o método para funções racionais, esse método consiste em dividir F em frações parciais e depois analisar a anti-transformada de cada parcela, para dividir em frações parciais precisamos achar os polos de F(s), i.e. os ponto onde a função F(s) tende a infinito, lembrando que a explicação aqui serve apenas para funções do tipo
Onde o grau do polinômio Q > grau do polinômio P.
Ou seja, os polos são os pontos nos quais
Os pontos que satisfazem essa condição são chamamos de polos de F, uma vez que sabemos os pontos de uma função podemos escrever ela como
Onde A_n são os resíduos dos polos simples, que são calculados como
Dado isso, vamos a resolver para nossa F, veja que ela já atende a nossa condição de Q > P, seus podem ser facilmente verificados, -1 e -3, logo sua expansão em frações parciais fica
Agora só precisamos os resíduos, utilizando a fórmula temos
Para o resíduo do polo 2
Portanto
Sabemos que
Logo
Obs: as propriedades de linearidade se aplicam a anti-transformada.
Então podemos concluir que
Utilizando a anti-transformada da exponencial
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