Question

Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da Figura 2-9.
(a) ABCDEFGH é um paralelepípedo.
(b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes.

Answer 1

(a) Como ABCDEFGH é um paralelepípedo, os vetores seguintes são iguais entre si:

$\bullet\;\;\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{HE}\\\\ \bullet\;\;\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CE}\\\\ \bullet\;\;\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$


As três linhas acima são igualdades entre vetores de mesmo comprimento, direção e sentido (vetores equipolentes) – logo representam o mesmo vetor no espaço.

Os vetores indicados na figura são $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AH}.$ A soma pedida é

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH}\\\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}\\\\ =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\\\\ =\overrightarrow{AF}$

___________

(b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes.

Nesta figura, fica mais simples se decompormos alguns vetores:

$\bullet\;\;\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\\\\ \bullet\;\;\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GH}$


Além disso,

$\bullet\;\;\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{HE}=-\overrightarrow{FG}=-\overrightarrow{BC}\\\\ \bullet\;\;\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{GH}$


Então, a soma dos vetores indicados na figura é

$\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{BH}\\\\ =\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}+\big(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\big)+\big(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GH}\big)\\\\ =\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{HE}+\big(-\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{CG}\big)+\big(-\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{EF}\big)\\\\ =-\overrightarrow{HE}-\overrightarrow{HE}+\big(\overrightarrow{CG}\big)+\big(\overrightarrow{CG}\big)\\\\ =-2\overrightarrow{HE}+2\overrightarrow{CG}$

$=2\overrightarrow{EH}+2\overrightarrow{CG}\\\\ =2\overrightarrow{FG}+2\overrightarrow{CG}\\\\ =2\cdot \big(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{CG}\big)\\\\ =2\cdot \big(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\big)\\\\ =2\overrightarrow{BG}$


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Bons estudos! :-)