Question

Obtenha a solução particular da equação diferencial 2 s ′ + 4 s − 8 e 2 x = 0 , sabendo que o valor de s pata x = 0 vale 2 : s ( x ) = e x + 2 e − x s ( x ) = e 2 x − e − x s ( x ) = e 2 x − 2 e − 2 x s ( x ) = e 2 x + e − 2 x s ( x ) = e 2 x + 2 e − 2 x

Answer 1

Resposta:

A solução particular pedida é $s=e^{-2x}+e^{2x}$

Explicação passo a passo:

A solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea é dada por:

$y=y_h+y_p$

Onde yh é a solução da equação homogênea e yp é uma solução particular.

Dada a equação:

$2s' + 4s = 8e^{2x}$

Simplificando por 2:

$s' +2s=4e^{2x}$

Resolvendo a equação homogênea temos:

r + 2 = 0

r = -2 que fornece a nossa solução $y_h=c_1\cdot e^{-2x}$.

Agora vamos determinar a solução particular que é da forma:

$s = y_p=A\cdot e^{kx}$, pois a função apresentada na equação é $4e^{2x}$.

Calculando a derivada primeira:

$s' =y'_p=Ak\cdot e^{kx}$

Substituindo na EDO

$s'+2s=4e^{2x}\\\\Ak\cdot e^{kx}+2A\cdot e^{kx}=4e^{2x}\\\\(Ak+2A)e^{kx}=4e^{2x}\\\\k = 2 \ e \ A =1\\\\y_p=e^{2x}$

Dessa forma a solução geral é dada por:

$y=c_1\cdot e^{-2x}+e^{2x}$

Como para x = 0 temos que s = 2 substituindo na solução geral:

$2=c_1+1\\\\c_1=1$

Assim, a solução particular é:

$s=e^{-2x}+e^{2x}$