Question

Obtenha a solução implicita da equação diferencial (x+y) dx + (x-y) dy = 0

Answer 1

A solução implícita é $-y^2 + 2xy + x^2 = C$.

Temos uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem.

O primeiro passo é colocar tudo de x em um lado e tudo de y no outro. Isso facilita bastante o cálculo:

(x+y)dx = -(x-y)dy = (y-x)dy

Tomando o termo dy/dx:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y+x}{y-x}$

Vamos investigar se é uma EDO homogênea, para tal vamos fazer f(λx, λy).

$f(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y + \lambda x}{\lambda y - \lambda x} = \frac{\lambda (y+x)}{\lambda (y-x)} = \frac{y+x}{y-x} = f(x,y)$

Portanto, temos uma EDO homogênea. Sendo assim, vamos substituir:

$z = \frac{y}{x}\\ \\y = zx\\\\\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}x + z$

Na EDO original:

$\frac{dz}{dx}x + z = \frac{zx + x}{zx - x} = \frac{x(z+1)}{x(z-1)} = \frac{z + 1}{z - 1} , para x\neq0\\\\x\frac{dz}{dx} = \frac{z + 1}{z - 1} - z = \frac{-z^2 + 2z + 1}{z - 1}\\   \\(\frac{z-1}{-z^2 + 2z + 1})dz = \frac{dx}{x}$

Integrando ambos os lados e resolvendo as interais, obtemos:

$-\frac{1}{2}log(-z^2+2x+1) = log(x) + C\\ \\2log(x) + log(-z^2+2x+1) = C\\\\log[x^2(-z^2+2z+1)] = C\\\\x^2(-z^2+2z+1) = C$

Substituindo o valor de z=y/x:

$x^2(-\frac{y^2}{x^2} + 2\frac{y}{x} + 1) = C\\  \\-y^2 + 2xy + x^2 = C$

, para x≠0.

Você pode aprender mais sobre EDO's aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19625978