Question

Obtenha a solução implicita da equação diferencial (x+y) dx + (x-y) dy = 0

Answer 1

y = x - b

Uma reta, onde b é uma constante qualquer.

Explicação passo-a-passo:

Bem sabemos que se tivermos uma função Q(x,y), a derivada total dela se da por:

dQ = (dQ/dx)dx + (dQ/dy)dy

Então se esta equação vier de uma derivada total, então deve satisfazer:

dQ/dx = x+y

e

dQ/dy = x-y

Então vamos começar com a primeira equação:

dQ/dx = x+y

Vamos integrar os dois lados em x:

Q = x²/2 + xy + c(y)

Onde c é uma constante que pode depender de y, pois derivando novamente em x, se esta constante depender de y ela é excluída.

Agora vamos derivar essa equação Q em y, pois se esta função estiver certa, então:

dQ/dy = x-y

Sendo assim pegamos:

Q = x²/2 + xy + c(y)

E derivamos em y:

dQ/dy = x + c'(y)

Então para esta equação estar certa:

dQ/dy = x + c'(y) = x - y

Ou seja:

c'(y) = - y

Então integrando novamente em y, temos que:

c(y) = - y²/2

Assim temos a equação:

Q = x²/2 + xy - y²/2

mas para dQ ser igual a zero, então Q tem que ser igual uma constante qualquer "k", assim temos que:

Q = k

x²/2 + xy - y²/2 = k

x² + 2xy - y² = 2k

Ou ainda, completando os quadrados:

(x-y)^2 = 2k

x - y = √(2k)

Como k é uma constante e √(2k) também, então eu posso escolher outra constante para colocar no lugar:

x - y = b

y = x - b