Obtenha a solução geral da equação diferencial y’’-3y’+2y=e^x sen x
Soluções para a tarefa
Resposta:
A solução geral homogenea e particular é: Y = A.exp(2x) + B.exp(x) + exp(x)[(-1/2)sen(x) + (1/2)cos(x)]
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, para resolver essa equação precisamos separa-la em duas partes: A solução homogenea e a solução particular.
A solução homogenea se da quando a mesma equação ao invés de ser igual a outra função, ela é igual a 0, neste caso:
y’’ - 3y’ + 2y = 0
Então vamos resolver essa equação homogenea:
Vamos para isso supor y = exp(rx), então:
y = exp(rx)
y' = r.exp(rx)
y'' = r².exp(rx)
Substituindo na equação temos:
r².exp(rx) - 3.r.exp(rx) + 2.exp(rx) = 0
cortando os termos "exp(rx)", ficamos com:
r² - 3r + 2 = 0
Um equação do segundo grau com raizes:
r1 = 2
r2 = 1
Então nossas possiveis soluções pra y são:
y1 = exp(2x)
y2 = exp(x)
Como a combinação linear dessas que seriam as soluções, então:
Yh = A.exp(2x) + B.exp(x)
Porém essa é somente a solução homogenea, agora vamos fazer a solução particular.
Para a solução particular vamos supor Y sendo uma função do mesmo tipo que a função depois da igualdade, nesse caso vamos supor:
Y = A.exp(x)sen(x) + B.exp(x)cos(x)
Então:
Y' = A.exp(x)sen(x) + B.exp(x)cos(x) + A.exp(x)cos(x) - B.exp(x)sen(x)
Y' = (A-B)exp(x)sen(x) + (A+B)exp(x)cos(x)
E:
Y'' = (A-B)exp(x)sen(x) + (A+B)exp(x)cos(x) + (A-B)exp(x)cos(x) - (A+B)exp(x)sen(x)
Y'' = (2A)exp(x)sen(x) + (2A)exp(x)cos(x)
Agora substituindo na nossa equação diferencial:
(2A)exp(x)sen(x) + (2A)exp(x)cos(x) -3((A-B)exp(x)sen(x) + (A+B)exp(x)cos(x)) + 2(A.exp(x)sen(x) + B.exp(x)cos(x)) = exp(x)sen(x)
Agrupando os termos:
exp(x)sen(x)(A+3B) + exp(x)cos(x)(-A-B) = exp(x)sen(x)
Analisando os dois lados da equação temos que:
A + 3B = 1
-A - B=0
Assim temos que:
A = -1/2 e B = 1/2
Então nosso Y particular é :
Yp = (-1/2).exp(x)sen(x) + (1/2).exp(x)cos(x)
Agora a solução geral basta somarmos as duas soluções:
Y = A.exp(2x) + B.exp(x) + exp(x)[(-1/2)sen(x) + (1/2)cos(x)]