Question

Obtenha a solução da equação diferencial ds/dt + s/3 = 2 que satisfaz a condição inicial s(0) = 5 . O que acontece com a solução após um longo tempo, ou seja, quanto vale

lim s(t)

t--> infinito

Answer 1

Resposta:

ds/dt + s/3 = 2

ds/dt =2-s/3

ds/dt=(6-s)/3

ds  =(6-s)/3  * dt

3/(6-s) ds = dt

∫3/(6-s) ds = ∫ dt

∫3/(6-s) ds

fazendo u=6-s  ==>du=-ds

-3*∫1/u du =-3 * ln|u|    , Como u=6-s   ==> -3*ln|6-s|

-3*ln|6-s|  = ∫ dt

-3*ln|6-s|  =t   + c

ln|6-s|  =-t/3 -c/3              ....Fazendo -c/3=c₁

ln|6-s|  =-t/3 +c₁               .....condição do log 6-s>0, podemos tirar o módulo

6-s = e^(-t/3 +c₁)

s = 6 - e^(-t/3 +c₁)

s = 6 - e^(-t/3) * e^(c₁)       ....fazendo e^(c₁)  =c₂

s = 6 - e^(-t/3) * c₂

s(t) = 6 - c₂ *e^(-t/3)

s(0)=5    ==>  6 - c₂ *e^(-0/3) =5   ==>6-c₂=5 ==>c₂=1

s(t) = 6 - e^(-t/3)

Lim 6 - e^(-t/3)   =6 -e^(-∞/3)   =6 -1/e^(∞) = 6-0 =6

t-->∞