Question

Obtenha a segunda derivada da função $f(x)= \sqrt[4]{(1+ x^{2})^{3} }$

Answer 1

$\mathsf{f(x)=\sqrt[4]{(1+x^2)^3}}\\\\ \mathsf{f(x)=(1+x^2)^{\frac{3}{4}}}$

Para obtermos a primeira derivada, se utiliza a seguinte regra:

$\mathsf{y=u^{\alpha}}\\\\ \mathsf{y'=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u'}$

Onde $\mathsf{u}$ é uma função derivável e $\mathsf{\alpha}$ uma constante:

$\mathsf{f'(x)=\dfrac{3}{4}\cdot(1+x^2)^{\frac{3}{4}-1}\cdot2x}\\\\ \mathsf{f'(x)=\dfrac{3}{2}x\cdot(1+x^2)^{-\frac{1}{4}}}$

Como temos uma derivada composta, agora utilizamos a seguinte regra para derivar:

$\mathsf{y=u\cdot v}\\\\ \mathsf{y'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

Onde $\mathsf{u}$ e $\mathsf{v}$ são funções deriváveis:

$\mathsf{u=\dfrac{3}{2}x}\\\\ \mathsf{u'=\dfrac{3}{2}}$


$\mathsf{v=(1+x^2)^{-\frac{1}{4}}}\\\\ \mathsf{v'=-\dfrac{1}{4}\cdot(1+x^2)^{-\frac{1}{4}-1}\cdot2x}\\\\ \mathsf{v'=-\dfrac{1}{2}x\cdot(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}}$


$\mathsf{f''(x)=\dfrac{3}{2}\cdot(1+x^2)^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{3}{2}x\cdot\left(-\dfrac{1}{2}x}\right)\cdot(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}}}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=\dfrac{3}{2}\cdot(1+x^2)^{-\frac{1}{4}}-\dfrac{3}{4}x^2\cdot(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}\cdot\left[ \dfrac{3}{2}\cdot(1+x^2)^1-\dfrac{3}{4}x^2\cdot1\right]}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}\cdot\left[\dfrac{3+3x^2}{2}-\dfrac{3x^2}{4}\right]}$

$\mathsf{f''(x)=(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}\cdot\left[\dfrac{6+6x^2}{4}-\dfrac{3x^2}{4}\right]}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}\cdot\left[\dfrac{6+3x^2}{4}\right]}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=(1+x^2)^{-\frac{5}{4}}\cdot\left[\dfrac{3(2+x^2)}{4}\right]}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=\dfrac{1}{\sqrt[4]{(1+x^2)^5}}\cdot\dfrac{3(2+x^2)}{4}}\\\\\\ \mathsf{f''(x)=\dfrac{3(2+x^2)}{4\sqrt[4]{(1+x^2)^5}}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{f''(x)=\dfrac{3(2+x^2)}{4(1+x^2)\sqrt[4]{1+x^2}}}}$