Question

Obtenha a P.G (an) de termos não nulos e razão q=$\frac{2}{3}$ tal que a6= a2.a4

Answer 1

Afirmação:
a₆=a₂*a₄

Sendo PG, posso fazer:
a₆=a₂*a₄
a₁*q⁵=a₁*q*a₁*q³
a₁/a₁*q⁵=q*q³*a₁  

 Em  : q*q³, observa-se exemplo de multiplicação de potência de mesma base, onde eu faço: conserva a base e soma os expoentes, assim: q¹⁺³=q⁴ . >>>a₁/a₁=1

q⁵=q⁴*a₁
q⁵/q⁴=a₁

Em : q⁵/q⁴, observa-se exemlo de divisão de potência de mesma base, onde faço: conserva a base e subtrai os expoentes, assim: q⁵⁻⁴=q

q⁵:q⁴=a₁q⁵⁻⁴=a₁
a¹=q

De acordo com a questão, q, a razão, é igual a 2/3, e eu acabei de descobrir que a₁=q, logo, a₁=2/3. Com isso, posso descobrir os termos seguintes: 

$a_{1} = \frac{2}{3} \\ \\ a_{2} = a_{1} * q= \frac{2}{3} * \frac{2}{3}= \frac{4}{9} \\ \\ a_{3} = a_{1} * q^{2} = \frac{2}{3} *( \frac{2}{3} ) ^{2} = \frac{2}{3} * \frac{4}{9} = \frac{8}{27} \\ \\ a_{4}= a_{1} * q^{3} = \frac{2}{3} *( \frac{2}{3} ) ^{3} = \frac{2}{3} * \frac{8}{27} = \frac{16}{81} \\ \\ a_{5} = a_{1} * q^{4} = \frac{2}{3} * (\frac{2}{3} ) ^{4} = \frac{2}{3} * \frac{16}{81} = \frac{32}{243}$

$a_{6} = a_{1 } * q^{5} = \frac{2}{3} *( \frac{2}{3} ) ^{5}= \frac{2}{3} * \frac{32}{243} = \frac{64}{729}$

Agora, segundo a questão:
a₆=a₂*a₄
E agora eu sei que:

$a_{6} = \frac{64}{729} \\ \\ a_{2} = \frac{4}{9} \\ \\ a_{4} = \frac{16}{81}$

Então eu faço:
$a_{6} = a_{2} * a_{4} \\ \\ \frac{64}{729}= \frac{4}{9} * \frac{16}{81} \\ \\ \frac{64}{729}= \frac{64}{729}$

Com isso, sei que a PG é verdadeira, e os seus termos são:

$P.G.:( \frac{2}{3} , \frac{4}{9} , \frac{8}{27} , \frac{16}{81} , \frac{32}{243}, \frac{64}{729} )$