Question

obtenha a imagem da função f, de IR em IR por f(x)= 2x AO QUADRADO-16x +24

Answer 1

Vamos lá...

f(x)= 2x² -16x +24

Primeiro devemos encontrar as raizes igualando a equação a zero.

2x² -16x +24 = 0

Eu posso dividir tudo pelo numero 2 para simplificar, assim fica mais fácil de resolver...

$\frac{2 x^{2} -16x +24}{2} = \frac{0}{2}$

x² - 8x + 12 = 0

Vamos lá, para achar as raizes utilizaemos a fórmula de bhaskara!

$\frac{-b+- \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$

$\frac{8+- \sqrt{-8^{2} -4*1*12} }{2}$

$\frac{8+- \sqrt{64 -48} }{2}$

$\frac{8+- \sqrt{16} }{2}$

$\frac{8+- 4}{2}$

$x' = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2} =6\\\\ x" = \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} =2$

Essas são nossas raizes agr devemos saber qual a nossa coordenada do vertice(Xv,Yv), para assim descobrir nossa imagem. veja..

Xv = $\frac{X' + X"}{2}$ = $\frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} =4$

Agr que descobrimos o X vertice, para achar o y vertice basta colocar o Xv na função...

Yv = x² - 8x + 12
Yv = 4² - 8*4 + 12
Yv = 16 - 32 + 12
Yv = -16 + 12
Yv = -4

Pelo fato do "a" da nossa função ser positivo a parabola é voltada para cima, ja que nosso Yv é -4, então o y será todos os número maiores ou iguais que -4

Conjunto imagem:

Im = {y ∈ IR | y ≥ -4} ou Im = [-4, +∞)

Espero ter ajudado, bons estudos!

Answer 2

❑ Obteremos como resultado: $\sf Im(f)=\left\{ y\in\mathbb{R}\:|\:y \ge-8\right\}$ $\checkmark$

Função Quadrática:

Também chamada de Função de Segundo Grau, a Função Quadrática possui sua lei de formação definida por: $\sf f(x)=ax^{2} +bx+c$ sendo que o Domínio e o Contradomínio são de $\mathbb{R \rightarrow R}$ e o coeficiente de a≠0 (coeficiente de a diferente de 0) pois caso tivéssemos as seguintes situações: a=0 e a<0 (a menor que 0) não teríamos mais uma Função Quadrática e a(s) soluções não estariam inclusas no Conjunto de Números Reais.

• Conjunto imagem de uma Função de Segundo Grau:

Para acharmos o Conjunto imagem de uma Função Quadrática devemos seguir os seguintes passos:

❑ Determinar os coeficientes (números) da função:

$\begin{cases}\sf a=2\\\sf b=-16\\\sf c=24\end{cases}$

❑ Descobrir o valor do Delta/Discriminante (Δ) dessa função. Para achar o valor do Δ usamos a seguinte fórmula:

$\Large\sf\Delta=b^{2} -4 \cdot a \cdot c$

❑ Por fim, iremos descobrir o valor do Vértice no eixo y ($\sf y_v$) que pode ser descoberto pela seguinte fórmula:

$\Large\sf y_v=-\dfrac{\Delta}{4 \cdot a}$

$\hookrightarrow$ Observação: Depois de encontrado o valor de $\sf y_v$ devemos representar o resultado da seguinte maneira:

$\sf Im(f)=\left\{ y \in \mathbb{R}\:|y \ge\:ou \le\:valor\:de\:y_v \right\}$

❑ Utilizamos ≤ quando o valor do coeficiente de b é positivo.

❑ Utilizamos ≥ quando o valor do coeficiente de b é negativo.

Mãos à obra:

Possuindo esses conceitos em mente e método de resolução, podemos calcular o que a sua questão pede :) Vamos lá!

❑ Já temos os valores dos coeficientes, então, podemos encontrar o Delta:

$\Large\sf \Delta=(-16)^{2}- 4 \cdot 2 \cdot 24 \\\Large\sf \Delta=256-4 \cdot 2 \cdot 24\\\Large\sf \Delta=256-8 \cdot 24\\\Large\sf \Delta=256-192\\\Large\bold{\Delta=64}$

❑ Vamos encontrar o valor do vértice do eixo y:

$\Large\sf y_v=-\dfrac{64}{4 \cdot 2} \\\Large\sf y_v=-\dfrac{64}{8} \\\Large\bold{ y_v=-8}$

❑ Agora é só representarmos o resultado da imagem. Como o valor do coeficiente b é negativo, iremos usar ≥

$\therefore \boxed{\bold{ Im(f)=}\left\{\bold{y\in\mathbb{R}\: |\:y\ge-8}\right\}} \checkmark$

Caso queira o gráfico dessa função, irei deixá-lo em anexo (segunda foto).

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Espero que a minha resolução esteja explícita para você. Bons Estudos!