Question

Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A) f: R+ —>R+
f(x)=x²

B) f: A —>R+, em que A = {xER/x≤1}
f(x) = (x - 1)²

Answer 1

Resposta:

$\text{a)}\\\\f^{-1}:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\f^{-1}(x) = \sqrt{x}\\\\\\\text{b)}\\\\f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{A},\quad \mathbb{A} = \{x \in \mathbb{R}\,/\,x\leq 1\}\\f(x) = -\sqrt{x}+1$

Explicação passo-a-passo:

Para descobrir a função inversa basta você chamar f(x) de y, e então trocar x com y e realizar as operações até que y esteja isolado novamente.

a)

$f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\f(x) = x^2$

Trocando temos:

$y = x^2\\\\\text{Troca x por y}\\\\x = y^2\\\\y =\pm \sqrt{x}\\\\f^{-1}(x) = \sqrt{x}$

Lembrando que aqui o dominio e a imagem da função devem estar bem definidos, portanto a função correta é apenas a parte positiva.

b)

$f:\mathbb{A}\rightarrow \mathbb{R}^+,\quad \mathbb{A} = \{x \in \mathbb{R}\,/\,x\leq 1\}\\f(x) = (x-1)^2$

Trocando temos:

$y = (x-1)^2\\\\\text{Troca x por y}\\\\x = (y-1)^2\\\\y-1 = \pm \sqrt{x}\\\\y = \pm \sqrt{x} + 1\\\\f^{-1}(x) = -\sqrt{x} + 1$

Neste caso, como o dominio da função é menor ou igual a 1, ficamos apenas com a parte "negativa".

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Sempre atenta ao dominio e imagem das funções, note que nas funções em que há raiz quadrada, o dominio não é negativo, e na segunda, a imagem de fato está dentro de A, assim como a primeira está dentro dos reais positivos.