Obtenha a equação geral da circunferência λ que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,2), cujo centro C pertence ao eixo das abscissas.
Soluções para a tarefa
(x -xo)^2 + (y - yo)^2 = R^2
Como o centro da circunferência pertence ao eixo "X"
yo = 0
Logo,
(x - xo)^2 + (y - 0)^2 = R^2
(x-xo)^2 + y^2 = R^2
________________
Substituindo o ponto A
(3, 1) = (x, y) Teremos
(x-xo)^2 + y^2 = R^2
(3-xo)^2 + 1^2 = R^2
(3 - xo)^2 + 1 = R^2
Aplicando produtos notaveis:
(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2
Então,
(3 - xo)^2 = 3^2 - 2×3×xo + xo^2
(3-xo)^2 = 9 - 6xo + xo^2
Substituindo-se:
(3-xo)^2 + 1 = R^2
9 - 6xo + xo^2 + 1 = R^2
10 - 6xo + xo^2 = R^2
___________
Substituindo ponto B
(6,2) = (x,y)
(x-xo)^2 + y^2 = R^2
(6-xo)^2 + 2^2 = R^2
(6-xo)^2 + 4 = R^2
Aplicando produtos notaveis:
(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2
Então,
(6-xo)^2 = 6^2 - 2×6×xo + xo^2
(6-xo)^2 = 36 - 12xo + xo^2
Substiruindo-se:
(6-xo)^2 +4 = R^2
36 - 12xo + xo^2 + 4 = R^2
40 -12xo + xo^2 = R^2
________
Montando um sistema:
10 - 6xo + xo^2 = R^2
40 -12xo + xo^2 = R^2
_____________
Multiplicando a primeira por -1
-10 + 6xo - xo^2 = -R^2
Somando-se com a debaixo
-10 + 6xo-xo^2 + 40 -12xo +xo^2 = -R^2+R^2
-10+ 40 + 6xo - 12xo = 0
30 -6xo = 0
6xo = 30
xo = 30/6
xo = 5
____________
Logo,
(x - xo)^2 + y^2 = R^2
(x -5)^2 + y^2 = R^2
Substituindo-se o ponto A ou B, teremos o valor de R
A = (3,1)
(3-5)^2 + 1^2 = R^2
(-2)^2 + 1 = R^2
4 + 1 = R^2
R^2 = 5
______
Logo,
(x-5)^2 + y^2 = R^2
(x-5)^2 + y^2 = 5
____________
A equação geral da circunferência é x² - 10x + y² + 20 = 0.
Se o centro da circunferência pertence ao eixo das abscissas, então a coordenada y é igual a 0.
Vamos considerar que o centro é C = (x₀,0).
Como a circunferência passa pelos pontos A(3,1) e B(6,2), então a distância entre A e C é igual à distância entre B e C.
Assim:
(x₀ - 3)² + (0 - 1)² = (x₀ - 6)² + (0 - 2)²
x₀² - 6x₀ + 9 + 1 = x₀² - 12x₀ + 36 + 4
-6x₀ + 10 = -12x₀ + 40
-6x₀ + 12x₀ = 40 - 10
6x₀ = 30
x₀ = 5.
Portanto, o centro da circunferência é C = (5,0).
A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².
Logo, a equação reduzida é: (x - 5)² + y² = r².
Para calcularmos o valor do raio, vamos substituir o ponto A na equação:
(3 - 5)² + 1² = r²
2² + 1² = r²
4 + 1 = r²
r² = 5.
Portanto, a equação da circunferência é:
(x - 5)² + y² = 5
x² - 10x + 25 + y² - 5 = 0
x² - 10x + y² + 20 = 0.
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