Question

Obtenha a equação de menor grau que tem como raízes −i, 2i e 1 −3i e apresenta coeficientes reais.

Answer 1

 Olá Samara, boa tarde!

 Seja $a+bi$ uma das raízes de uma equação de grau dois, temos que a outra raiz é o conjugado daquela, isto é, $a-bi$.  
 
 Isto posto, temos que as raízes da equação em questão são: $-i$, $+i$, $2i$, $-2i$, $1-3i$, $1+3i$
 
 Como pôde notar, 6 raízes complexas. Com isso, podemos concluir que o menor grau da equação é SEIS.
 
  Tomemos como exemplo uma equação de grau dois $ax^2+bx+c=0$, onde $a\neq0$ cujas raízes sejam 2 e 3. Podemos encontrar tal equação fazendo:

$a(x-2)(x-3)=0\\(x-2)(x-3)=0\\x^2-3x-2x+6=0\\x^2-5x+6=0$
 
 Isto posto, temos que:

$a(x+i)(x-i)(x-2i)(x+2i)\left[x-(1-3i)\right]\left[x-(1+3i)\right]=0\\\\a(x^2-i^2)(x^2-4i^2)(x-1+3i)(x-1-3i)=0\\\\a(x^2+1)(x^2+4)\left[(x-1)^2-9i^2\right]=0\\\\(x^4+4x^2+x^2+4)(x^2-2x+1+9)=\frac{0}{a}\\\\(x^4+5x^2+4)(x^2-2x+10)=0\\\\x^6-2x^5+10x^4+5x^4-10x^3+50x^2+4x^2-8x+40=0\\\\\boxed{x^6-2x^5+15x^4-10x^3+54x^2-8x+40=0}$