Question

obtenha a equação da reta tangente no gráfico da função f(x)= (3. Sen x+ 4 . Cos x)⁵ no ponto da abscissa x⁰= π​

Answer 1

A equação da reta tangente será do tipo :

$\displaystyle \sf y-y_o =m\cdot (x-x_o) \\\\ onde : \\\\ m = f'(x_o) \\\\ \\ Temos: \\\\ f(x) = (3\cdot sen(x)+4\cdot cos(x) )^5 \\\\ f'(x) = 5\cdot (3\cdot sen(x)+4\cdot cos(x))^4\cdot (3\cdot sen(x)+4\cdot cos(x))' \\\\ f'(x) = 5\cdot (3\cdot sen(x)+4\cdot cos(x))^4\cdot (3\cdot cos(x)-4\cdot sen(x) )\\ \\\\ \text{fazendo \ }x_o=\pi :$

$\displaystyle \sf \sf f'(\pi) = 5\cdot (3\cdot sen(\pi)+4\cdot cos(\pi))^4\cdot (3\cdot cos(\pi)-4\cdot sen(\pi) ) \\\\ f'(\pi) = 5\cdot (3\cdot 0+4\cdot (-1))^4 \cdot (3\cdot (-1)-4\cdot 0) \\\\ f'(\pi ) = 5\cdot (-4)^4 \cdot (-3) \\\\ f'(\pi) = -15\cdot 256\\\\ f'(\pi) = -3840 \\\\ \text{Da{\'i} a equa{\c c}{\~a}o da reta tangente }:\\\\ y-y_o = m\cdot (x-x_o) \\\\ y-y_o = -3840\cdot (x-\pi)$

para descobrir o $\sf y_o$ basta fazer $\sf x_o=\pi$

$\sf y_o = f(\pi) = (3\cdot sen(\pi)+4\cdot cos(\pi ) )^5 \\\\ y_o = f(\pi) = (3\cdot 0+4\cdot (-1))^5 \\\\ y_o = f(\pi) =-1024$

Daí :

$\sf y-y_o = m\cdot (x-x_o) \\\\ y-y_o = -3840\cdot (x-\pi) \\\\\ y -(-1024) = -3840\cdot (x-\pi) \\\\ y+1024 = -3840\cdot x + 3840\cdot \pi \\\\ \underline{\text{Portanto a equa{\c c}{\~a}o da reta tangente {\`a} f(x) {\'e}}} : \\\\ \boxed{\ \sf 3840\cdot x+y+1024-3840\cdot \pi = 0\ }\checkmark$

Answer 2

A equação da reta tangente da função acima no ponto $x_{0}=\pi$ é

$y=-3840.x+3840.\pi-1024$

Como encontrar a equação da reta tangente?

A reta tangente a uma curva y=f(x) arbitrária é dada pela equação:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

Na equação acima, y=f(x) é a variável dependente, $y_{0}$ é o valor de f(x) no ponto $x_{0}$, x é a variável independente e m é o coeficiente angular no ponto $(x_{0}, f(x_{0}))$. A derivada da função y no ponto $x=x_{0}$ é o coeficiente angular da reta m=f'(x) tangente à curva no ponto $x=x_{0}$.

Para obter a equação da reta tangente à função $f(x)=(3.sen(x)+4.cos(x))^{5}$ no ponto $x=\pi$, temos que encontrar os valores de $f(\pi)$ e $f'(\pi)$.

Calculando inicialmente $f(\pi)$, temos:

$f(\pi)=(3.sen(\pi)+4.cos(\pi))^{5}$

$f(\pi)=(4.cos(\pi))^{5}$

$f(\pi)=(4.(-1))^{5}$

$f(\pi)=(-4)^{5}$

$f(\pi)=-1024$

Para o cálculo de $f'(\pi)$, temos que primeiro realizar a derivada da função f(x) em relação a x, o que nos dá:

$f'(x)=5.(3.sen(x)+4.cos(x))^{4}.(3.cos(x)-4.sen(x))$

Substituindo, então, o valor de $x=\pi$, temos que a derivada de f(x) no ponto $x=\pi$ é dado por:

$f'(\pi)=5.(3.sen(\pi)+4.cos(\pi))^{4}.(3.cos(\pi)-4.sen(\pi))$

$f'(\pi)=5.(4.cos(\pi))^{4}.(3.cos(\pi))$

$f'(\pi)=5.(4.(-1))^{4}.(3.(-1))$

$f'(\pi)=5.(-4)^{4}.(-3)$

$f'(\pi)=-3840$

Utilizando os valores acima calculados, temos que a equação da reta tangente da função f(x) no ponto $x=\pi$ assume a forma:

$y+1024=-3840(x-\pi)$

$y+1024=-3840.x+3840.\pi$

$y=-3840.x+3840.\pi-1024$

Para saber mais sobre equação da reta tangente, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/980871

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