Question

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = ex no ponto de abscissa x = 0. Conclua que para valores “pequenos” de x, ex pode ser aproximada por 1 + x. Obtenha uma valor aproximado de e0,1.

Answer 1

A equação da reta é: $y-y_{_0}=m(x-x_{_0})\implies y=mx-mx_{_0}+y_{_0}$
sabemos que m é o coeficiente angular da reta, o grau de inclinação. A derivada da função é o coeficiente angular da reta tangente:
$f(x)=\exp(x)\\\displaystyle m=\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x)=e^x$
se calcularmos Y no ponto X = 0 encontraremos:
$f(0)=\exp(0)=1$
nossa equação da reta tangente já está quase pronta:
$y=mx-mx_{_0}+y_{_0}\implies f(x)=mx-mx_{_0}+f(x_{_0})\\f(0)=1\\m=\exp(x)\\ f(x)=\exp(x).x-\exp(0).0+f(0)\implies f(x)=\exp(x).x-0+1\\f(x)=x.\exp(x)+1$
A equação da reta tangente dessa função é igual a $y=x.\exp(x)+1$
Podemos calcular o limite de f(x) com x tendendo a zero para afirmar que o valor pode ser aproximado de 1+x:
$\displaystyle \lim_{x\to0}e^x=\lim_{x\to0}\exp(x)=\exp(0)=1\\\\\lim_{x\to0}1+x=1+0=1\\\exp(0,1)=\exp(\frac{1}{10})=e^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{e}\approx1,105\\\exp(0,01)=\exp(\frac{1}{100})=\sqrt[100]{e}\approx1,01\\\exp(0,001)=\exp(\frac{1}{1000})=\sqrt[1000]{e}\approx1,001\\\\1+x\ |\limits_{x=0,1}=1+0,1=1,1\\1+x\ |\limits_{x=0,01}=1+0,01=1,01\\1+x\ |\limits_{x=0,001}=1+0,001=1,001$
Percebeu que em ambas funções quando o x tende a zero assumem um valor bem semelhante?? as primeiras casas são iguais!